Kurze Kontrollfrage: Unterschied Stetigkeit - Gleichmäßige Stetigkeit

23.03.2011, 00:07

someone[ger]

Kurze Kontrollfrage: Unterschied Stetigkeit - Gleichmäßige Stetigkeit

Moin,

kurze Frage weil ich mir grad nicht 100%ig sicher bin, dass ich nichts vergessen habe:

Stetigkeit:

Im Punkt p des Defnitionsbereiches gilt:

Wenn die Argumente nur nah genug beieinanderliegen, erhält man Funktionswerte, die beliebig dicht beieinander liegen.

Gleichmäßige Stetigkeit:

In jedem Punkt des Definitionsbereiches gilt:

Wenn die Argumente nur nah genug beieinanderliegen, erhält man Funktionswerte, die beliebig dicht beieinander liegen.

Ist das so richtig oder hab ich noch einen Unterschied vergessen? Hammer

23.03.2011, 00:44

speedyschmidt

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Nee, das kann so nicht stimmen was Du da hast.

Ersteres ist Stetigkeit in p und letzteres stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich.

Ich merk mir gleichmäßige Stetigkeit immer so:

Bei der epsilon-delta-definition wählt man bei gleichmäßiger stetigkeit das delta eben nicht für jeden Punkt neu, sondern global, also nur einmal.

lg Wink

23.03.2011, 23:27

someone[ger]

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Okay, klar. Logisch.

Also nochmal:

Stetigkeit

Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist genau dann in einem Punkt $\begin{eqnarray*} p \in D \end{eqnarray*}$ stetig, wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0, so dass |f(x)-f(p)|<\epsilon \forall x \in D mit |x-p|<\delta \end{eqnarray*}$

Anschaulich: Man wählt irgendein epsilon und kann zu jedem dieser epsilons ein delta finden, so dass zwei Argumente, nämlich p und eines was dichter als delta bei p liiegt, Funktionswerte liefern, die dichter als epsilon bei einander liegen. Das delta muss in Abhängigkeit des Punktes $\begin{eqnarray*} p \in D \end{eqnarray*}$ gewählt werden.

Gleichmäßige Stetigkeit

Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist genau dann gleichmäßig stetig, wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0, so dass |f(x)-f(z)|<\epsilon \forall x, z \in D mit |x-z|<\delta \end{eqnarray*}$

Anschaulich: Man wählt irgendein epsilon und kann zu jedem dieser epsilons ein delta finden, so dass zwei Argumente, die dichter als delta beieinander liegen, Funktionswerte liefern, die dichter als epsilon bei einander leigen. Das delta wird ausschließlich in Abhängigkeit des gewählten epsilons gewählt und ist in jedem Punkt des Definitionsbereiches gleich.

Jetzt alles korrekt? smile

Der Prof meinte, es sei eine typische Prfüngsfrage, da sollte man es schon genau verstehen Big Laugh

24.03.2011, 13:59

BanachraumK_5

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Zitat:

Der Prof meinte, es sei eine typische Prfüngsfrage, da sollte man es schon genau verstehen Big Laugh

Das stimmt ist wirklich wichtig; Mal ein Hinweis was bei meinem Prof. damals gut ankam:

"Bei glm. Stetigkeit kann man das $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ unabhängig vom x wählen".

Wie Speedy bereits erläutert hat. Bei Stetigkeit musst du für jedes x von neuem gucken wie du das DELTA wählst.

Besonderst nützlich ist das Schaubild auf Wikipedia da siehst du es nochmal was das anschaulich bedeutet.

http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichm%C3%...Fige_Stetigkeit

Mach dir auch am besten noch klar warum jede LIPSCHITZ Stetige Funktion glm. stetig ist?!

http://de.wikipedia.org/wiki/Lipschitz-Stetigkeit

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