Kurvenintegrale - Verstehe die Aufgabe nicht

23.03.2011, 11:30

Brüllmücke

Kurvenintegrale - Verstehe die Aufgabe nicht

Meine Frage:
Hallo. Wie gehe ich an so eine Aufgabe ran?

Man berechne folgende Kurvenintegrale:
$\begin{eqnarray*} \int_{(0;0;0)}^{(1;1;1)} \! ((x+y+z)dx + (3x+2y-z)dy + (5x-y+z)dz ) \ \end{eqnarray*}$
a) längs einer Geraden;
b) längs eines in (1;0;0) und (1;1;0) gebrochenen Streckenzuges

Meine Ideen:
Ich habe keine Ahnung.

23.03.2011, 12:05

Cel

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Hallo, schau mal in meinen Workshop: [WS] Wege & Wegintegrale

Es geht bei dir um ein Wegintegral zweiter Art, in der Notation des WS ist die Aufgabe folgende:

$\begin{eqnarray*} v(x,y,z) = \begin{pmatrix}x+y+z \\ 3x+2y-z \\ 5x-y+z\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Du sollst jetzt das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma}v(x,y,z) \cdot \dd (x,y,z) \end{eqnarray*}$ berechnen.

Du brauchst dann eine Parametrisierung der beiden Kurven. Auch dafür gibt dir mein Workshop eine Hilfe.

23.03.2011, 16:29

Brüllmücke

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Hallo und danke für die schnelle Antwort. In meinem Merzinger habe ich jetzt auch die richtige Seite gefunden. Kurvenintegral 2.Art = Arbeitsintegral =). Das hab ich mir jetzt gemerkt. Die Parametrisierung macht allerdings wirklich Probleme.

Mein t wandert bei allen Ebenen von 0 bis 1, richtig?
Mein $\begin{eqnarray*} v_{x} = x + y + z \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} v_{x} = 1 \end{eqnarray*}$ ?
Längs einer Geraden, deshalb $\begin{eqnarray*} \vec{x}\left(t\right) = \begin{pmatrix} t \\ t \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , richtig?

Habe die Zusammenhänge noch nicht wirklich erkannt und deshalb auch keinerlei Struktur wie ich bei der Parametrisierung vorzugehen habe.

23.03.2011, 16:35

Cel

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$\begin{eqnarray*} v_x = x+y+z \end{eqnarray*}$ , meinst du damit den ersten Eintrag der Funktion $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ? Dann ja.

Zur Parametrisierung zitiere ich mich mal selbst (aus dem WS):

Zitat:

a) Die Verbindung zwischen zwei Punkten A und B nennt man Strecke und hat folgende Parametrisierung:

$\begin{eqnarray*} \gamma(t) = A + t(B - A), \; 0 \leq t \leq 1 \end{eqnarray*}$

Bei dir ist nun $\begin{eqnarray*} A = (0,0,0)^T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=(1,1,1)^T \end{eqnarray*}$

Setzt das mal ein und dann hast du eine Parametrisierung. Augenzwinkern

23.03.2011, 16:59

Brüllmücke

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Hm,
und warum
$\begin{eqnarray*} A = (0,0,0)^T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=(1,1,1)^T \end{eqnarray*}$
Woher nimmt man das?

$\begin{eqnarray*} \vec{x}\left(t\right) = \begin{pmatrix} t \\ t \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Und wie genau sieht dann mein $\begin{eqnarray*} \vec{v}\left(\vec{x}\left(t\right) \right) \end{eqnarray*}$ aus ?

Ich steh voll auf dem Schlauch :/
Forum Kloppe

23.03.2011, 17:39

Brüllmücke

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Ok außer $\begin{eqnarray*} A = (0,0,0)^T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=(1,1,1)^T \end{eqnarray*}$ hab ich jetzt soweit alles verstanden. Freude

23.03.2011, 17:51

Cel

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Dieses A und B sind Vektoren, die Art, eine Strecke zu parametrisieren, solltest du aus der Schule kennen: Stützvektor + Richtungsvektor. Stützvektor ist hier der Nullvektor und der Richtungsvektor ist auch einfach. Und dadurch, dass man nur von t = 0 bis 1 parametrisiert, kommt man zum Anfangs- und Endpunkt.

Deswegen ist $\begin{eqnarray*} \vec{x}(t)=\begin{pmatrix}t \\ t \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Hast du den Rest nun schon verstanden? Wäre ja super, ansonsten frag noch mal nach.

23.03.2011, 18:00

Brüllmücke

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Ja ich entsinne mich.
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \vec{p}_{1} + t*\left(\vec{p}_{2}-\vec{p}_{1}\right) \end{eqnarray*}$

Aber so ganz ist mir das noch nicht klar. Also woher weiß ich das der Nullvektor der Stützvektor ist. Es sind mir ja keine Punkte bekannt. Was wäre denn wenn t von 0 bis k gehen würde?

23.03.2011, 18:37

Brüllmücke

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Ich glaube jetzt hab ich es. Die Grenzen verraten mir doch die Punkte.
Punkt A = (0,0,0) und Punkt B = (1,1,1). Es geht ja um einen Streckenzug und der liegt zwischen (0,0,0) und (1,1,1), damit müssen das ja zwangsläufig Anfangs- und Endpunktkoordinaten sein. Lieg ich damit richtig?

23.03.2011, 18:39

Cel

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Das ist richtig. Von 0 bis k macht wenig Sinn, du sollst doch gerade nur von (0,0,0) bis (1,1,1) gehen. Wenn t bis k gehen würde, dann müsste oben im Integral ein anderen Punkt stehen.

Edit: Richtig, gerade deinen Post gesehen. Du hast Recht. Freude

23.03.2011, 18:42

Brüllmücke

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Ha! Ich Danke Dir!! Gott

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