Parameterintegrale

23.03.2011, 12:38	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Parameterintegrale Meine Frage: Hallo, ich befasse mich gerade mit dem Thema "Parameterintegrale". Dazu habe ich folgenden Satz gefunden und versuche gerade, diesen auf ein Beispiel anzuwenden: "Sei $\begin{eqnarray} D=[a,b]\times [c,d]=\left\{(x,y):a\leq x\leq b, c\leq y \leq d\right\} \end{eqnarray}$ ein abgeschlossenes Rechteck im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f: D\to \mathbb R \end{eqnarray}$ stetig. Dann gilt für die Integralfunktion $\begin{eqnarray} F(x):=\int_c^d f(x,y) dy, a\leq x\leq b \end{eqnarray}$ 1.) F ist stetig in [a,b]. 2.) Ist zusätzlich f auf [a,b] stetig partiell differenzierbar, so ist F differenzierbar und es gilt $\begin{eqnarray} F'(x)=\frac{d}{dx}\int_c^d f(x,y) dy=\int_c^d \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) dy \end{eqnarray}$ ." Nun zu dem Beispiel: $\begin{eqnarray} F(x)=\int_1^{\pi} \frac{\sin(tx)}{t} dt \end{eqnarray}$ Ich versuche nun, den obigen Satz wiederzuerkennen. $\begin{eqnarray} f: [a,b]\times [1,\pi]\to \mathbb R \end{eqnarray}$ ? Was ist bei diesem Beispiel [a,b]? Die Funktion f ist jedenfalls stetig, da in Zähler und Nenner stetige Funktionen stehen und eigentlich ist es egal, wie [a,b] konkret aussieht. Also ist schonmal F(x) nach 1.) stetig. Für 2. müsste ich jetzt kontrollieren, ob f auf [a,b] stetig partiell nach x differenzierbar ist: $\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)=\cos(tx) \end{eqnarray}$ und das dürfte auf [a,b] stetig sein, eigentlich egal, wie [a,b] hier aussieht. Meine Ideen: Demnach müsste für 2.) gelten: $\begin{eqnarray} F'(x)=\int_1^{\pi} \cos(tx) dt \end{eqnarray}$ .
23.03.2011, 15:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe nichts zu meckern.
23.03.2011, 15:30	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein gutes Zeichen!
23.03.2011, 15:34	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Na? Land in Sicht ...
23.03.2011, 15:50	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei uneigentlichen Parameterintegralen muss f(x,y) doch wieder stetig und stetig partiell nach x differenzierbar sein, zusätzlich muss aber noch für f(x,y) und die partielle Ableitung nach x eine Majorante gefunden werden und die uneigentlichen Integrale über diese Majoranten müssen existieren bzw. konvergieren? Erst dann kann man unter dem Integral ableiten wie oben.
23.03.2011, 15:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Sagen wir so: Das sind hinreichende Bedingungen, die für viele Probleme der mathematischen Praxis "leicht" zu überprüfen sind.
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23.03.2011, 16:02	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dann weiß ich bescheid. So habe ich nämlich gefunden und wollte es gerne mal bestätigt haben.

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