Tangentialkegel / Richtung

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noptika Auf diesen Beitrag antworten »
Tangentialkegel / Richtung
Hallo zusammen,

ich finde die Definition von Tangentialrichtung so unanschaulich. Wieso definiert man das so?

Def: . Vektor heißt Tangentialrichtung an in , wenn es eine Folge mit und eine Folge positiver reeller Zahlen mit gibt, so dass gilt




Das ist für mich gar nicht anschaulich. Wie stellt ihr euch das vor? verwirrt Würde mich über eine Erklärung sehr freuen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Machst du Optimierung?

Von Interesse sind Punkte auf dem Rand einer zulässigen Menge. Dort greift das Kreiterium "Gradient gleich Null" (*) ja nicht mehr. Das ergab sich ja, weil es z.B. in einem Lokalen Minimum keine Abstiegsrichtung geben dufte und man in jede Richtung gehen konnte.

In welche Richtungen kann man nun auf so einem Randpunkt gehen? Das ist im Tangentialkegel umgesetzt.

Wenn du eine Menge in 2D malst, sollte der Name auch klarer werden. Wenn man diesen Kegel "auf dem Punkt x" verschiebt, so tangiert er die Menge. Bild 1 Bild 2

Mit ihm kann man dann (*) verallgemeinern, der Tangentialkegel ist allerdings kein "gut zu handhabendes" Objekt. Seine Motivation ist nun hoffentlich klarer.
noptika Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Machst du Optimierung?

ja


Jetzt hab ich ein gutes Bild davon, Danke

Ich find das nur mit der Folgeimmer noch unanschaulich. Wozu ist die gut?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, denk mal an die Ableitung mit der h-Methode. Das t dürfte hier die Rolle des h spielen.
noptika Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ja daran hab ich immer gedacht. Hab aber den Fehler gemacht , dass ich gedachte habe alle zulässigen Richtungen wären Tangentialrichtungen. Das ist aber dann wohl nicht der Fall. Also in der Ebene hat man dann doch im Allg. 2 Tangentialrichtungen und , richtig?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, die 2 äüßeren ggf. Wie auf den Bildern. Aber es heißen alle Richtungen in dem Kegel tangential. Und das sind i.A. unendlich viele.
 
 
noptika Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ok, hm kann man das denn noch irgendwie anders ausdrücken? Man will doch damit nur

die Richtungen beschreiben, die ins "Innere" zeigen, wenn man auf einem Randpunkt ist. Ist man im Inneren sind ja eh alle Richtungen Tangentialrichtungen.

Ist das nicht dann auch richtig , wenn man sagt: Sei , Tangentialrichtung genau dann wenn , wobei

Denn mit hinreichend kleinem , wäre dann doch
noptika Auf diesen Beitrag antworten »

Also bzw. genau andersrum immer

(x'-x)

Aber die eigentlich Frage ist für mich : Wieso gibt

alle Richtungen ins "Innere" an?

Das die Richtungen nicht nach außen zeigen können ist klar, da alle x_k in S liegen. Aber was garantiert, dass es für jede Richtung nach Innen, so eine Folge gibt? Oder wieso macht man das so umständlich mit Folgen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

1. Was wäre einfacher in deinen Augen?

2. Es lässt sich für "innere" Richtungen doch leicht eine entsprechende Folge basteln.
noptika Auf diesen Beitrag antworten »

OK, wahrscheinlich ist das mit der Folge am einfachsten smile .

kann ich mir das mit der Folge so vorstellen, dass die quasi den Vektor verlängert?


Würde man das weglassen, dann käm ja immer raus.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das würde ich mir so nicht vorstellen. Es käme dann auch nicht 0 raus, sondern der Nullvektor. Der liegt eh immer im Kegel. Ich erwähnte ja schon, dass man den Kegeln in den Abbildungen halt verschiebt, um das mit dem Tangential an die Menge besser zu sehen.

Das t ist wie das h eben wichtig für den Grenzwertprozess.
noptika Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hab ichs gerafft Big Laugh

Thx. Wink
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne. Wink
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