bedingte Erwartung ermitteln

23.03.2011, 14:13

fnsr21

bedingte Erwartung ermitteln

Hallo!

Ich habe Verständnisprobleme bei folgender Aufgabe:

Gegeben seien der Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} \left((0,1], \mathcal B(0,1],\lambda\right), X\in \mathrm L^1(\lambda) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal F_n = \sigma\left(\left(\frac{j-1}{2^n},\frac{j}{2^n}\right], j=1,\dots, 2^n\right), n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Finde $\begin{eqnarray*} \mathbb E(X \mid \mathcal F_n) \end{eqnarray*}$ .

Meine Überlegungen decken sich auch ziemlich mit der Musterlösung.

Meine Überlegungen:

$\begin{eqnarray*} \mathcal F_n \end{eqnarray*}$ besteht ja nunmehr nur aus den Atomen die die Intervalle $\begin{eqnarray*} \left(\frac{j-1}{2^n},\frac{j}{2^n}\right] \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j=1,\dots,2^n \end{eqnarray*}$ bilden. Damit gilt:

$\begin{eqnarray*} \mathbb E(X \mid \mathcal F_n) = \sum_{j=1}^{2^n} c_j \mathrm 1_{\left(\frac{j-1}{2^n},\frac{j}{2^n}\right]} \end{eqnarray*}$

wobei die $\begin{eqnarray*} c_j = \frac{\mathbb E\left(1_{\left(\frac{j-1}{2^n},\frac{j}{2^n}\right]}X\right)}{\mathbb P\left(\frac{j-1}{2^n},\frac{j}{2^n}\right]} (*) \end{eqnarray*}$ bezeichnen. Dies ist also noch zu berechnen.

Dabei ist gerade:

$\begin{eqnarray*} \mathbb E\left(1_{\left(\frac{j-1}{2^n},\frac{j}{2^n}\right]}X\right) = \mathbb E\left(\mathbb E\left(1_{\left(\frac{j-1}{2^n},\frac{j}{2^n}\right]}X\mid \mathcal F_n\right)\right) = \mathbb E\left(c_j1_{\left(\frac{j-1}{2^n},\frac{j}{2^n}\right]}\right) = c_j \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$

Ab hier sagt nun die Musterlösung, dass damit folgt:

$\begin{eqnarray*} \mathbb E(X\mid \mathcal F_n) = 2^n \sum_{j=1}^{2^n}\mathbb E\left(1_{\left(\frac{j-1}{2^n},\frac{j}{2^n}\right]}X\right)1_{\left(\frac{j-1}{2^n},\frac{j}{2^n}\right]} \end{eqnarray*}$

Fehlt hier nicht die Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ oder bin ich grad blöd diese richtig zu berechnen? Oder habe ich die Definition der $\begin{eqnarray*} c_j \end{eqnarray*}$ missverstanden?

Mfg

23.03.2011, 14:27

René Gruber

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Das Wahrscheinlichkeitsmaß auf deinem Grundraum $\begin{eqnarray*} (0,1] \end{eqnarray*}$ ist ja einfach das Lebesguemaß $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , also gilt einfach

$\begin{eqnarray*} \mathbb P\left( \left( \frac{j-1}{2^n},\frac{j}{2^n}\right] \right) = \frac{j}{2^n} - \frac{j-1}{2^n} = \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ ,

wo siehst du da noch ein Problem? verwirrt

23.03.2011, 14:44

fnsr21

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RE: bedingte Erwartung ermitteln
Ich bemerke gerade den Denkfehler...mich hatte die Zeile

Zitat:

Original von fnsr21
$\begin{eqnarray*} \mathbb E\left(1_{\left(\frac{j-1}{2^n},\frac{j}{2^n}\right]}X\right) = \mathbb E\left(\mathbb E\left(1_{\left(\frac{j-1}{2^n},\frac{j}{2^n}\right]}X\mid \mathcal F_n\right)\right) = \mathbb E\left(c_j1_{\left(\frac{j-1}{2^n},\frac{j}{2^n}\right]}\right) = c_j \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$

verwirrt, aber wenn wir die $\begin{eqnarray*} c_j \end{eqnarray*}$ direkt nach $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ berechnen, kommen wir zum selben Ergebnis, wie damit Hammer

Danke für die Hilfe Augenzwinkern

23.03.2011, 14:58

René Gruber

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Wie gesagt, ich weiß jetzt nicht, was dein Problem ist. Anscheinend ist es eins der Kausalität: Wenn du alles mal geordnet logisch aufschreibst, sollte sich das Problem in Luft auflösen.

23.03.2011, 15:23

fnsr21

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Ja, hat sich alles geklärt, danke dir. smile

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