"Anti-Involution"

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22.06.2004, 18:58	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
"Anti-Involution" Hier mal ein kleines Schmankerl g (zu deutsch: Leckerbissen) Gib eine Funktion von R nach R an, die für alle x die Gleichung f(f(x)) = -x erfüllt. Hinweis: In C wäre das ganz einfach: f(x) := ix erfüllt diese Gleichung für alle komplexen Zahlen x, aber in R ist das etwas komplexer. Gruss, SirJective
22.06.2004, 19:32	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
hm sei e(x) = -x gesucht ist ein f(x) so das (f(f(X)) = e(x) Aus dem faktorisierungssatz folgt das man e(x) in 2 Abbildungen zerlegen kann, eine surjektive und eine injektive. Nehmen wir als zwischen Menge R und die beiden funktionen sollen also f(X) sein => f(x) ist sowohl surjektiv als auch injektiv, also bijektiv $\begin{align} => f^{-1}(f^{-1}(y)) = x \end{align}$ Daraus folgt insbesondere das $\begin{align} f(x) = f^{-1}(y) \end{align}$ also insbesondere $\begin{align} f(x) = f^{-1}(-x) \end{align}$ Also der "zwischenschritt" der Funktion bildet auf die selbe Menge wie der "zwischenschritt" der Umkehrfunktion. Was sagt uns das? Vermutlich nix, kannst ja mal sagen ob die Richtung total ins leere läuft. aber nette aufgabe
22.06.2004, 21:35	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe das dumpfe Gefühl, daß diese Funktion alles andere als stetig ist. Stimmt das?
22.06.2004, 23:44	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
SirJective sagt: "Mazze hat richtig ausgerechnet, dass sie bijektiv sein muss. Es gibt Lösungen, die stückweise stetig sind. Sogar mit äquidistanten Unstetigkeitsstellen."
23.06.2004, 15:20	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab die funktion mal mit nem Kumpel "diskutiert" und wir kamen auf folgende 2 darstellungen 1.) $\begin{align} f(x) = sgn(x)(\\|x\\| - 1) \end{align}$ falls int(x) mod 2 != 0 $\begin{align} f(x) = -sgn(x)(\\|x\\| + 1) \end{align}$ falls int(x) mod 2 == 0 2.) $\begin{align} f(x) = x(-1)^{int(\\|x\\|)+1} - sgn(x) \end{align*}$ Die int(x) funktion als solche schneidet den nachkommateil einer zahl ab (kennt man aus java), man müsste diese nur mathematisch korrekt definieren also 0,5 -> 0, 0,7 -> 0 , 1,5 -> 1 ... usw. Wir ham die richtigkeit der funktion mit den Werten 0,5;1,5;-0,5;-1,5;0 probiert, vieleicht findet ihr ja etwas was die funktion nicht berücksichtigt. edit hm die zweite ist für 0 falsch, die erste für 0 richtig ^^ (wir hatten nur die erste form durchprobiert)
23.06.2004, 16:46	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Mazze, deine Loesungen ist mindestens an allen nicht ganzen Zahlen richtig. Ob sie fuer ganze Zahlen das richtige Ergebnis liefern, muss man noch nachpruefen. Dazu muss man genau wissen, was die int-Funktion tut. So wie ich dich verstanden habe, realisiert sie eine "Rundung in Richtung 0", also $\begin{align} int(x) = \{\array{floor(x)&x>0\\ceil(x)&x<0\\0&x=0} \. \end{align}$ . Meine Loesung, die an den nichtganzen Zahlen mit deiner ersten uebereinstimmt, lautet $\begin{align} f(x) = x\cdot(-1)^{ceil(\|x\|)}-sgn(x) \end{align}$ . Deine zweite Loesung ist jedenfalls an den nichtganzen Zahlen das negative der ersten Loesung. Ueberleg dir noch, ob sie auch fuer ganze Zahlen funktionieren. Fuer x=0 liefern beide Loesungen das richtige Ergebnis (beachte sgn(0)=0). Gruss, SirJective PS: Diese Sorte von Loesungen ist die bisher schoenste, die ich fuer diese Aufgabe gefunden habe. Es gibt noch jede Menge Loesungen, die fast ueberall unstetig sind. Eine ganze Klasse von Loesungen hab ich mal zusammengetragen, meine hier gegebene Funktion laesst sich als Funktion dieses Typs darstellen: Anti-Involution (PDF)
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24.06.2004, 11:17	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
Gehe ich richtig in der Annahme, dass man mit einer passenden Intervallzerlegung von IR+, einer Folge von Spiegelungen (Spiegl.-Kombinationen) und einer 4- zyklischen Vertauschung der Sp.-Fixpunkte eine übersichtliche Lösung bekommt? Oder gehts einfacher? Lg Mario
24.06.2004, 13:07	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab zwar nicht ganz verstanden was du meinst, Mario, aber hier ein weiterer Ansatz: Wenn du R ohne 0 disjunkt zerlegst in Mengen von je 4 Elementen {a, b, -a, -b}, dann kannst du f(a) = b, f(b) = -a, f(-a) = -b, f(-b) = a, f(0) = 0 definieren und hast ebenfalls eine Loesung. Meinst du etwas in der Art, oder noch was anderes?
24.06.2004, 13:32	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist der Ansatz; ich hab mirs bloß etwas zu kompliziert gemacht; Ich dachte an folgendes: Man nehme eine streng m.w. Folge $\begin{align} (x_k),, x_1=0, x_k->\infty \end{align}$ . Definiere $\begin{align} I_k:=(x_k,x_{k+1}) \end{align}$ (k ungerade), I_k=[...,...] (k gerade), $\begin{align} m_k:=1/2(x_k+x_{k+1}) \end{align}$ (Mittelpunkte). Setze $\begin{align} f(0)=0, f(m_k)=m_{k+1}, f(m_{k+1})=-k, f(-k)=-(k+1), f(-(k+1))=k \end{align}$ (k ung.) (das ist genau Dein Ansatz). Dann $\begin{align} f(x)=-(2m_k-x) (x\in I_k, x>m_k), \end{align}$ $\begin{align} f(x) = 2m_k-x (x\in I_k, x<m_k), \end{align}$ analog für x\in -\I_k, also ebenfalls zyklische Tauschungen... Naja, ist zwar explizit, aber etwas kompliziert.... Lg Mario

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