Wildschweinpopulation/Satz von Bayes

23.03.2011, 17:04

Maiky_MS

Wildschweinpopulation/Satz von Bayes

Hallo,
ich hab hier nochmal eine Aufgabe, bei der ich nicht vorran komme:
In einem weitläufigen Wildgehege lebt eine Wildschweinpopulation von 200 Tieren. Es ist bekannt, dass jedes zwanzigste Tier von einem bestimmten Darmparasiten befallen ist. Vor einem Jahr wurde bei einem Teil der Population eine Impfung durchgeführt, bei der die geimpften Tiere markiert wurden. Bei einer neuen Untersuchung wird nun festgestellt, dass von je fünf befallenen Tieren zwei geimpft sind und dass von je fünf nicht befallen Tieren vier geimpft sind. Ein Tier wurd nun rein zufällig eingefangen.
a) Mit Welcher Wahrscheinlichkeit ist das rein zufällig eingefangene Tier nicht geimpft?
b) Es wird festgestellt, dass das gefangene Tier geimpft ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es von einem Parasiten befangen?

So, ich definiere zunächst mal Ereignisse K=das Tier ist krank, G=das Tier ist geimpft sowie deren Komplemente.
Nun vertue ich mich her leider häufiger. Wenn ich nun P(K|G) habe, ist dieses doch die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Tier krank ist unter der Vorrausetzung, dass es geimpft wurde oder?
Die Vorrausetzungen sind dann meiner Meinung nach:
$\begin{eqnarray*} P(K)=1/20 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(K|G)=2/5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(K^c|G)=4/5 \end{eqnarray*}$
gesucht ist in a) dann $\begin{eqnarray*} P(G^c) \end{eqnarray*}$ und in b) $\begin{eqnarray*} P(G|K) \end{eqnarray*}$
stimmt das soweit?

23.03.2011, 17:45

Maiky_MS

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs jetzt mal mit nem Baumdiagramm gemacht. Stimmt das so weit?
Macht es nicht Sinn das immer so zu machen? Find es irgendwie einfacher als formal.

img215.imageshack.us/img215/5395/bayes.jpg

23.03.2011, 18:57

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wildschweinpopulation/Satz von Bayes
Hi,

Zitat:

Wenn ich nun P(K|G) habe, ist dieses doch die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Tier krank ist unter der Vorrausetzung, dass es geimpft wurde oder?

Das stimmt schon - gegeben ist aber

Zitat:

Bei einer neuen Untersuchung wird nun festgestellt, dass von je fünf befallenen Tieren zwei geimpft sind und dass von je fünf nicht befallen Tieren vier geimpft sind.

Das ist genau die andere Richtung

Gegeben ist also

$\begin{eqnarray*} P(K)=1/20 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(G\mid K)=2/5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(G\mid K^C)=4/5 \end{eqnarray*}$

Im Baumdiagramm gibt $\begin{eqnarray*} P(G\mid K) \end{eqnarray*}$ genau die Wahrscheinlichkeit des Pfades von K nach G an

Es hat auf jeden Fall Sinn sich dazu ein Baumdiagramm zu zeichnen, als Beweis ist das aber nicht unbedingt ausreichend.

Gefragt sind übrigens Wahrscheinlichkeiten und keine absoluten Zahlen

Die Rechnung zu a) ist richtig (deine letzte Formel ist übrigens die der totalen Wahrscheinlichkeit)

Die Rechnung zu b) ist auch richtig, im Prinzip hast du auch indirekt die Fomel von Bayes schon verwendet

24.03.2011, 14:10

Maiky_MS

Auf diesen Beitrag antworten »

Mh. Hab ich so nicht die Wahrscheinlichkeiten bestimmt?

Und gibts irgendeinen generellen Trick wie ich erkenne, ob P(G|K) oder P(K|G) gegeben ist?

24.03.2011, 14:16

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Maiky_MS
Mh. Hab ich so nicht die Wahrscheinlichkeiten bestimmt?

Unten ja, ich meinte das Baumdiagramm

Zitat:

Original von Maiky_MS
Und gibts irgendeinen generellen Trick wie ich erkenne, ob P(G|K) oder P(K|G) gegeben ist?

P(G|K) ist die Wkeit von G unter der Bedingung K, d.h. Bedingung K ist gegeben und G wird gesucht.
Wenn da also schon steht

Zitat:

Es wird festgestellt, dass das gefangene Tier geimpft ist.

dann ist das also gegeben

24.03.2011, 14:53

Maiky_MS

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir!
Nun ist es mir klarer! Mit Zunge

25.03.2011, 22:14

Maiky_MS

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wildschweinpopulation/Satz von Bayes

Zitat:

Bei einer neuen Untersuchung wird nun festgestellt, dass von je fünf befallenen Tieren zwei geimpft sind und dass von je fünf nicht befallen Tieren vier geimpft sind.

Gegeben ist also

$\begin{eqnarray*} P(K)=1/20 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(G\mid K)=2/5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(G\mid K^C)=4/5 \end{eqnarray*}$

Kann man das vielleicht allgemein sagen, dass man immer $\begin{eqnarray*} P(G|K) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(G|K^c) \end{eqnarray*}$ gegeben hat? Also immer, dass man vorne (vor dem |) die gleiche Vorrausetzung hat und hinter dem | verschiedene, so dass man die Gegenwahrscheinlichkeiten mit 1 - P(..) berechnen kann?

25.03.2011, 22:42

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wildschweinpopulation/Satz von Bayes

Zitat:

Original von Maiky_MS
Kann man das vielleicht allgemein sagen, dass man immer $\begin{eqnarray*} P(G|K) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(G|K^c) \end{eqnarray*}$ gegeben hat? Also immer, dass man vorne (vor dem |) die gleiche Vorrausetzung hat und hinter dem | verschiedene, so dass man die Gegenwahrscheinlichkeiten mit 1 - P(..) berechnen kann?

IMMER sicherlich nicht, du kannst irgendwas gegeben haben, aber dieses entspricht den Pfadwahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm

Neue Frage »

Antworten »

Wildschweinpopulation/Satz von Bayes

Verwandte Themen