[Topologie] Filter

23.03.2011, 17:10	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
[Topologie] Filter Hallo! Ich mache mich im Moment mit den Grundbegriffen der Topologie vertraut. Insbesondere geht es mir im Moment um Filter / Filterbasen / Ultrafilter. Erste Frage: gibt es eine gute geometrische Anschauung für diese Begriffe? Mir fällt es immer schwer, mir das alles zu merken, weil ich "metrisch" denke, nicht topologisch. Zweitens: Ich habe mir Gedanken über die Konvergenz von Filtern gemacht. Diese müssen ja keinen eindeutigen Grenzwert haben. Ist folgende Überlegung richtig: Sei $\begin{eqnarray} \tau:=\{\emptyset,O_1,\ldots,O_n,X\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} O_i\neq\emptyset \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} O_i\subset O_{i+1} \end{eqnarray}$ für alle i. Behauptung 1: Das ist eine Topologie. Behauptung 2: Die Menge $\begin{eqnarray} F:=\{O_1,\ldots,O_n,X\} \end{eqnarray}$ ist ein Filter. Behauptung 3: Der Filter $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ konvergiert gegen jedes Element aus $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Meinungen dazu? Stimmt das? Cordovan
23.03.2011, 17:18	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Cordovan, eine gute metrische Anschauung ist mir dazu nicht bekannt und ich fürchte, dass es schwer werden dürfte. Ultrafilter auf unendlichen Mengen kann man ja auch nichtmal explizit konstruieren. Spontan würden mir jetzt noch die Korrespondenz zwischen Filter- und Netzkonvergenz einfallen (bei Netzen hat man immerhin Folgen im Kopf). In Bredons Geometry and Topology ist das, glaube ich, ganz gut dargestellt. Ansonsten gibt es in der Ordnungstheorie die Stone-Dualität, falls Dich das interessiert. Dein Beispiel sollte funktionieren. Viele Grüße, zweiundvierzig

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