Mengenlehre: Element und Teilmenge

23.03.2011, 17:54

Absurd

Mengenlehre: Element und Teilmenge

Meine Frage:
Was ist der Unterschied zwischen einer Teilmenge und einem Element?

Also an einem Beispiel:
{IN ; 1/2} = M
Diese Menge enthält nun 2 Elemente (?), allerdings ist eines davon eine Menge.
Ist IN nun Element, Teilmenge oder beides von M?
Ist M unendlich oder hat es die Mächtigkeit 2?

Meine Ideen:
M hat ja eine unendliche Menge als Element (?), aber eigentlich nur 2 Elemente!

23.03.2011, 18:10

Pavel

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RE: Mengenlehre: Element und Teilmenge

Zitat:

Also an einem Beispiel:
{IN ; 1/2} = M
Diese Menge enthält nun 2 Elemente (?) richtig
, allerdings ist eines davon eine Menge. auch richtig
Ist IN nun Element, Teilmenge oder beides von M? IN ist Element von M, aber keine Teilmenge von M
Ist M unendlich oder hat es die Mächtigkeit 2? M hat die Mächtigkeit 2

Meine Ideen:
M hat ja eine unendliche Menge als Element (?), aber eigentlich nur 2 Elemente! beides richtig

Stell ruhig weitere Fragen, falls noch irgendetwas unklar ist.

25.03.2011, 14:40

Absurd

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RE: Mengenlehre: Element und Teilmenge
Also ist die oben angeführte Menge M tatsächlich größer als eines ihrer Elemente, und zwar IN?

Kann man dazu irgendwas erwähnen oder muss man das hinnehmen

25.03.2011, 14:56

Merlinius

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RE: Mengenlehre: Element und Teilmenge

Zitat:

Original von Absurd
Also ist die oben angeführte Menge M tatsächlich größer als eines ihrer Elemente, und zwar IN?

Was soll das heißen "M ist größer als eines seiner Elemente"? Man kann eine partielle Ordnung " $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ " definieren und dann sagen "A ist größer als B, wenn B Teilmenge A". Aber wie Du bereits festgestellt hast, sind die Elemente von M keine Teilmengen, also kann man sie nicht vergleichen.

Außerdem kann man die Begriffe "Menge" und "Element" nicht so strikt trennen. Auch Elemente sind Mengen. Schau Dir einfach die Definition des Begriffs Teilmenge an.

A ist Teilmenge von B, wenn jedes Element aus A auch in B liegt. Dies ist in Deinem Beispiel offenbar nicht gegeben für N und M, da etwa $\begin{eqnarray*} 2 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} 2 \notin M \end{eqnarray*}$ .

25.03.2011, 15:08

Pascal95

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Man könnte auch sagen:
$\begin{eqnarray*} M = \left\{ \frac{1}{2};1;2;3;4; ...\right\} \end{eqnarray*}$

Dann wäre auch: $\begin{eqnarray*} \mathbb N \subset M \end{eqnarray*}$

Aber auch:
$\begin{eqnarray*} \mathbb N \in M \end{eqnarray*}$ (per Definition)

Da sie aber beide abzählbar unendlich sind:
$\begin{eqnarray*} | M | = | \mathbb N | \end{eqnarray*}$
Aber $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ hat nur 2 Elemente: $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Das ist ja widersprüchlich ?!?

Pascal

25.03.2011, 15:35

Merlinius

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Zitat:

Original von Pascal95
Man könnte auch sagen:
$\begin{eqnarray*} M = \left\{ \frac{1}{2};1;2;3;4; ...\right\} \end{eqnarray*}$

Dann wäre auch: $\begin{eqnarray*} \mathbb N \subset M \end{eqnarray*}$

Aber auch:
$\begin{eqnarray*} \mathbb N \in M \end{eqnarray*}$ (per Definition)

Ich glaube, Du meinst: $\begin{eqnarray*} M = \left\{\mathbb N; \frac{1}{2};1;2;3;4; ...\right\} \end{eqnarray*}$ , oder?

Sonst ist es falsch. $\begin{eqnarray*} \{\mathbb N\} \neq \mathbb N \end{eqnarray*}$

25.03.2011, 15:42

Ibn Batuta

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Oder er meint eher $\begin{eqnarray*} M=\{ \frac 1 2; \{1;2;3;...\} \} \end{eqnarray*}$ ... Dann wäre ihm aber andererseits klar geworden, warum $\begin{eqnarray*} 2\notin M \end{eqnarray*}$ .

Ibn Batuta

25.03.2011, 15:54

Pascal95

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@Ibn Batuta: Aha, das ist m.E. doch besser als mein Vorschlag die Menge zu sehen.

Dann stimme ich auch zu, dass die Menge zwei Elemente hat und $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ keine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist, sondern wirklich nur ein Element.

Pascal

25.03.2011, 15:58

Pascal95

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Zitat:

Original von Merlinius
Ich glaube, Du meinst: $\begin{eqnarray*} M = \left\{\mathbb N; \frac{1}{2};1;2;3;4; ...\right\} \end{eqnarray*}$ , oder?

So meinte ich das nicht, da kommt $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ja zwei mal vor.

Ich habe leider die Elemente von N zu dem Element 1/2 hinzugefügt.
Also habe ich geschrieben: $\begin{eqnarray*} M = \mathbb N \cup \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Das war aber falsch.

So wie "Ibn Batuta" mich interpretiert hat, ist es aber wohl richtig zu sehen.

25.03.2011, 15:59

Ibn Batuta

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@Pascal95:

Dein Vorschlag war folgender: $\begin{eqnarray*} N=\mathbb{N}\bigcup\{\frac 1 2\} \end{eqnarray*}$ . Es ist aber $\begin{eqnarray*} N\ne M \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} |N|=|\mathbb{N}| \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} |M|=2 \end{eqnarray*}$ ...

Edit: Jetzt hast du's auch richtig gemacht. Freude

Ibn Batuta

25.03.2011, 16:03

Pascal95

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Jo, $\begin{eqnarray*} M = \mathbb N \cup \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ hatte ich mir aber schon vorher überlegt.

Es ist auch lehrreich, sich über sowas Gedanken zu machen.
Zahlentheorie und Mengenlehre sind sehr interessante Themen der Mathematik.

25.03.2011, 16:13

Merlinius

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Zitat:

Original von Pascal95

Zitat:

Original von Merlinius
Ich glaube, Du meinst: $\begin{eqnarray*} M = \left\{\mathbb N; \frac{1}{2};1;2;3;4; ...\right\} \end{eqnarray*}$ , oder?

So meinte ich das nicht, da kommt $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ja zwei mal vor.

Nein, $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ kommt eben nicht zwei mal vor, da $\begin{eqnarray*} \mathbb N \notin \{1, 2, ...\} = \mathbb N \end{eqnarray*}$

Ich glaube aber, das hast Du in den letzten Beiträgen bereits eingesehen. Wobei ich das bei allem Durcheinander nicht klar sagen kann.

25.03.2011, 16:17

Pascal95

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Ja, Merlinius.

Aber trotzdem danke, dass du das noch mal ansprichst.

Das kann mich manchmal ein bisschen durcheinander bringen.

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