Baumdiagramm/Wahrscheinlichkeit

23.03.2011, 18:11

Florian11

Baumdiagramm/Wahrscheinlichkeit

Guten Tag.
Ich werde bald eine Mathearbeit schreiben und habe mir ein paar Aufgaben zum üben aus meinem Buch herausgesucht. Nun komme ich bei folgenden Aufgaben nicht weiter unglücklich

Lambacher Schweizer Mathematik für Gym. Kl. 8)

Aufgabe 1)

Ein Computer-Zeichen wird durch einen Nachrichtenkanal als Folge von acht Nullen oder Einsen übertragen. Aufgrund von Störungen wird jede Ziffer mit einer Wahrscheinlichkeit von 1,5% falsch empfangen; statt einer 0 kommt dann eine 1 an oder umgekehrt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird
a) das gesamte Zeichen richtig empfange,
b) das Zeichen falsch empfangen, d.h. mindestens eine Ziffer falsch übertragen?
(Byte-Zeichen: 01000001 für den Buchstaben A)

Frage: Wie erstelle ich passend dazu ein Baumdiagramm und wie verzweige ich es bzw. welche Ereignisse hat es (Falsch / Richtig empfangen??)

Aufgabe 2)

Kommissar Max B. hat neun Verdächtige verhört, unter denen sich die vier lange gesuchten Einbrecher befinden. Er nimmt drei der Verdächtigen fest und alle entpuppen sich als Einbrecher. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hätte rein zufällig so ein gutes Ergebnis erzielt?

Frage: Ich weiß die Rechnung ( 4/9 * 3/8 * 14/504 = 2,7 % )
Wie zeichne ich dazu aber ein Baumdiagramm? Wie sind die Ereignisse ?

Aufgabe 3)

Das Glücksrad in Fig.1 wird viermal gedreht. Man gewinnt, wenn die Summe der erzielten Zahlen höchstens 1 beträgt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen?
Figur 1: 1/2 grüne Fläche ; 1/4 blaue Fläche ; 1/6 gelbe Fläche ; 1/8 rote Fläche (insgesamt ein Kreis).

Frage: Wie lautet wie Rechnung dazu?

Danke im Vorraus!

23.03.2011, 18:13

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Bei Aufgabe 1 bin ich auch gerade! Warte, ich rechne die mal.

Was verstehst du denn nicht daran, wie man ein Baumdiagramm machen muss?

EDIT: Wieso willst du überhaupt zu eins ein Baumdiagramm erstellen? verwirrt

23.03.2011, 18:22

Florian11

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Zu 1 würde ich ein Baumdiagramm machen, da so welche ähnlichen Aufgaben (bestimmt) in der Arbeit drankommen werden... Das wären doch 8 Stufen (8 Zeichen) und jeweils 2 Ereignisse (falsch oder richtig empfangen)?

Danke für deine Antwort smile

23.03.2011, 18:24

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Aber in solchen Fällen ist es doch eigentlich einfacher im pascalschen Dreieck die Anzahl der Pfade nachzuschauen, oder?

Ich bin selber in der 8ten Klasse, schreibe morgen die Mathearbeit über dieses Thema und verzweifel selber an der Aufgabe! Augenzwinkern

EDIT: Ich würde mir das so erklären:

Nehmen wir an das sind keine Zeichen, sondern Treffer und Nieten! Es ist also ein Experiment, was achtmal durchgeführt wurde, also wie du bereits erkannt hast, ein 8-stufiges Experiment! Wenn die Zahl richtig übertragen wurde ist es das Ereignis, wenn nicht, so ist es das Gegenereignis!

23.03.2011, 18:32

Florian11

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Okay, Dann werde ich diese erste Aufgabe später nochmal intensivieren Big Laugh

Das mit diesem Dreieck hatten wir noch nicht.

Hast du eine Ahnung bei Nr. 2 +3 ??

23.03.2011, 18:40

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Hier das Bild zu Aufgabe 3:

Kannst du sagen auf welcher Seite aufgabe 2 steht?

23.03.2011, 18:43

Florian11

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Aufgabe 1: Seite 86 , Aufgabe im Buch : Nr. 5

Aufgabe 2: Seite 87, Aufgabe im Buch : Nr.7

Aufgabe 3: Seite 87, Aufgabe im Buch : Nr.9

Die Abbildung ist richtigl.

24.03.2011, 12:33

Nubler

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RE: Baumdiagramm/Wahrscheinlichkeit

Zitat:

Aufgabe 1)

Ein Computer-Zeichen wird durch einen Nachrichtenkanal als Folge von acht Nullen oder Einsen übertragen. Aufgrund von Störungen wird jede Ziffer mit einer Wahrscheinlichkeit von 1,5% falsch empfangen; statt einer 0 kommt dann eine 1 an oder umgekehrt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird
a) das gesamte Zeichen richtig empfange,
b) das Zeichen falsch empfangen, d.h. mindestens eine Ziffer falsch übertragen?
(Byte-Zeichen: 01000001 für den Buchstaben A)

Frage: Wie erstelle ich passend dazu ein Baumdiagramm und wie verzweige ich es bzw. welche Ereignisse hat es (Falsch / Richtig empfangen??)

es gibt $\begin{eqnarray*} 2^8=256 \end{eqnarray*}$ verschiedene zweige, es ist somit wahnsinnig, den ganzen baum zeichnen zu wollen, wenn man es nicht umbedingt braucht, und hier ist es auch nicht nötig.

hinweis: ich verwend hier nicht die prozentschreibweise

Den für die aufgabe relevanten ausschnitt kannst du dir folgendermaßen zeichnen:
du hast zwei mögliche ausgänge für die übertragung eines bits (so heissen die übertragenen 0 und 1): entweder es wird richtig übertragen, oder falsch. um das zeichen richtig zu übertragen, müssen alle 8 bit richtig übertragen werden.

beginnt man nun mit den ersten bit, so wird es mit einer wahrscheinlichkeit P(richig übertragen)=0,985 richtig oder P(falsch übertragen)=0,015 falsch übertragen.

somit hast du beim ersten mal 2 verzweigungen: eine für richtig mit P=0,985 und eine für falsch mit P=0,015.

nun können wir uns die übertragung des zweiten bits widmen:
ist das erste bit bereits falsch übertragen worden, kann das zeichen bereits nicht mehr richtig übertragen werden. Dieser zweig wird von nun an am besten ignoriert.

wie das erste bit, so wird aich das zweite mit einer wahrscheinlichkeit P(richig übertragen)=0,985 richtig oder P(falsch übertragen)=0,015 falsch übertragen.
nun kannst du den zweig, des ersten bits, das richtig übertragen wurde, aufteilen, in richtig und falsch übertragen mit den entsprechenden wahrscheinlichkeiten. bei den anderen bits kannst du nun analoge überlegungen wie die zum zweiten anstellen.

nun überlegungen , wie wahrscheinlich es ist, dass das ganze zeichen richtig übertragen wurde:

es muss auf jeden fall das erste bit richtig übertragen werden. die wahrscheinlichkeit dafür ist P=0,985
zudem muss das zweite bit ebenfalls richtig übertragen werden. Die wahrscheinlichkeit dafür, dass erstes und zweites richtig übertragen sind, ist $\begin{eqnarray*} P=0,985\cdot0,985 \end{eqnarray*}$
jetzt muss noch das dritte bit ebenfalls richtig übertragen werden. Die wahrscheinlichkeit, dass die ersten drei bit richtig übertragen werden ist $\begin{eqnarray*} P=0,985\cdot0,985\cdot0,985 \end{eqnarray*}$

Wenn du die überlegung entsprechend weiterführst, kommst du auf die wahrscheinlichkeit, dass alle 8 bit und somit dein zeichen richtig übertragen wurde.

in der a) hast du P(zeichen richtig übertragen) ausgereichnet

nun weisst du, dass irgendetwas übertragen wird, entweder richtig oder falsch, was anderes geht nicht, also gilt:

P(zeichen richtig übertragen)+P(zeichen falsch übertragen)=1

mit dem ergebnis aus der a) kannst du nun sofort das ergebnis angeben

Zitat:

Aufgabe 2)

Kommissar Max B. hat neun Verdächtige verhört, unter denen sich die vier lange gesuchten Einbrecher befinden. Er nimmt drei der Verdächtigen fest und alle entpuppen sich als Einbrecher. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hätte rein zufällig so ein gutes Ergebnis erzielt?

Frage: Ich weiß die Rechnung ( 4/9 * 3/8 * 14/504 = 2,7 % )
Wie zeichne ich dazu aber ein Baumdiagramm? Wie sind die Ereignisse ?

wie oben würde es theoret. reichen nur einen teil zu zeichnen. da der Baum aber nur $\begin{eqnarray*} 2^3=8 \end{eqnarray*}$ äste hat, ist er eine schöne übungsaufgabe.

P(T):=die Wahrscheinlichkeit, dass der festgenommene ein einbrecher ist
P(F):=die Wahrscheinlichkeit, dass der festgenommene keiner der einbrecher ist.

Wir beginnen mit unserer gruppe aus 9 leuten, von denen gesuchte 4 Einbrecher sind.
wir wählen jemand zufällig aus. die wahrscheinlichkeit, dass es ein gesuchter Einbrecher ist, ist $\begin{eqnarray*} P(T)=\frac{4}{9} \end{eqnarray*}$ , die wahrscheinlichkeit, dass er kein gesuchter Einbrecher ist, ist $\begin{eqnarray*} P(F)=\frac{5}{9} \end{eqnarray*}$ . die stellt gleichzeitig die erste verzweigung dar. nun haben wir eine gruppe von 8 persohnen, aus der wir wieder eine auswählen.
wie die gruppe nun zusammengesetzt ist, hängt jedoch davon ab, ob die erste ausgewählte person ein gesuchter einbrecher war oder nicht. ich mach hier den fall, der erste war kein einbrecher, die fertigstellung dieses teils des baums überlas ich dir mit analogen überlegungen.
gehen wir davon aus, dass der erste kein gesuchter einbrecher war, dann befinden sich in unserer gruppe noch 4 gesuchte einbrecher und 4 sonstige personen. wähle ich nun eine person aus ist sie mit einer wahscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} P(T)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ein einbrecher und mit $\begin{eqnarray*} P(F)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ hier verzweigt sich der Baum nun jeweil mit einer wahrscheinlichkeit von 0,5. jetzt soll noch eine dritte person gewählt werden. die zusammensetzung der gruppe hängt nun auch davon ab ob die zweite person ein gesuchter einbrecher war oder nicht.
betrachten wir zuerst den fall, die person beim zweiten auswählen war keiner der gesuchten einbrecher. somit sind in der verbleibenden gruppe aus 7 leuten nun noch 4 einbrecher. die Wahrscheinlichkeit, einen jetzt einbrecher zu erwischen ist nun $\begin{eqnarray*} P(T)=\frac{4}{7} \end{eqnarray*}$ , die eine sonstige person noch $\begin{eqnarray*} P(F)=\frac{3}{7} \end{eqnarray*}$ .
nun stellt sich die frage, was ist, wenn man beim zweiten auswählen einen einbrecher erwischt hat. dann sind in der gruppe aus 7 personen noch 3 einbrecher. die Wahrscheinlichkeit, einen jetzt einbrecher zu erwischen ist mit $\begin{eqnarray*} P(T)=\frac{3}{7} \end{eqnarray*}$ jetzt geringer, die eine sonstige Person zu erwischen mit $\begin{eqnarray*} P(F)=\frac{4}{7} \end{eqnarray*}$ höher.

nun kann man sich überlegen, mit welcher wahrscheinlichkeit unter den drei ausgewählten Personen sich keiner der gesuchten einbrecher befindet.
analog zur obigen aufgabe kann man sich dies überlegen, jedoch nicht mit gleichbleibenden wahrscheinlichkeiten.
so wäre $\begin{eqnarray*} P(\text{keiner der drei ist gesuchter einbrecher})=\frac{5}{9}\cdot\frac{4}{8}\cdot\frac{3}{7} \end{eqnarray*}$

mit diesen überlegungen solltest du nun den baum vervollständigen und die aufgabe lösen können

Zitat:

Aufgabe 3)

Das Glücksrad in Fig.1 wird viermal gedreht. Man gewinnt, wenn die Summe der erzielten Zahlen höchstens 1 beträgt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen?
Figur 1: 1/2 grüne Fläche ; 1/4 blaue Fläche ; 1/6 gelbe Fläche ; 1/8 rote Fläche (insgesamt ein Kreis).

Frage: Wie lautet wie Rechnung dazu?

Danke im Vorraus!

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8} > 1 \end{eqnarray*}$ beantwortet die ganze aufgabe

überlege dir, warum

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