Kartesische-Zylinder-Kugelkoordinaten

03.12.2006, 10:25

ThomasMa

Kartesische-Zylinder-Kugelkoordinaten

Ich steh grad aufm Schlauch. Wie wandle ich

$\begin{eqnarray*} div*\vec{F} = 3z^{2} + 3y^{2} + 3x^{2} \end{eqnarray*}$

in Zylinder- bzw. Kugelkoordinaten um. Wie geht das allgemein? Vielen dank

03.12.2006, 12:35

Abakus

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RE: Kartesische-Zylinder-Kugelkoordinaten

Zitat:

Original von ThomasMa
Ich steh grad aufm Schlauch. Wie wandle ich

$\begin{eqnarray*} div*\vec{F} = 3z^{2} + 3y^{2} + 3x^{2} \end{eqnarray*}$

in Zylinder- bzw. Kugelkoordinaten um. Wie geht das allgemein? Vielen dank

Erstmal zur Notation: es heißt $\begin{eqnarray*} div~ \vec{F} \end{eqnarray*}$ . (F ist hier offenbar ein 3-dim. Vektorfeld).

Die Frage ist, was du genau unter umwandeln verstehst. Was möchtest du umwandeln ?

Zylinderkoordinaten einzuführen, bedeutet eine Transformation anzuwenden. Bekannt ist hier die Beziehung:

$\begin{eqnarray*} T(r, \varphi, z) := (r \cdot \cos \varphi, r \cdot \sin \varphi, z) \end{eqnarray*}$

Die 3-te Koordinate bleibt erhalten. Das kannst du auf der rechten Seite deiner Gleichung leicht einsetzen.

Wenn du die Divergenz (als Operator) in Zylinderkoordinaten ausdrücken willst (etwa weil du ein Vektorfeld F in Zylinderkoordinaten gegeben hast und davon die Divergenz berechnen möchtest), so betrachte:

$\begin{eqnarray*} G(x, y, z) := F(T^{-1}(x, y, z)) \end{eqnarray*}$

Mit einigen Umformungen (Umkehrtransformation ausrechnen, totales Differential, Kettenregel usw.) kannst du die Divergenz dann in Zylinderkoordinaten angeben.

Bei Kugelkoordinaten geht es analog (nur gibt es bei Kugelkoordinaten verschiedene Möglichkeiten den zweiten Winkel zu wählen, daher gibt es verschiedene Transformationen).

Grüße Abakus smile

**** verschoben zur Analysis (Vektoranalysis) ****

03.12.2006, 12:48

ThomasMa

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Gut, ich muss mir also das Vektorfeld zuerst anschauen und dann die Divergenz ausrechnen. Mein Vektorfeld in diesem Fall ist:

$\begin{eqnarray*} F (x,y,z) = \begin{pmatrix} 3z^{2} + e^{siny} \\ cos(e^{x}) + y^{3} \\ lny + 3x^{2}z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das heisst jetzt wenn ich in zylinderkoordinaten umwandeln möchte dass

$\begin{eqnarray*} lny + 3x^{2}z \end{eqnarray*}$ also die dritte koordinate für $\begin{eqnarray*} F (r,\varphi, z) \end{eqnarray*}$ gleich bleibt.

Was muss ich jetzt mit den ersten beiden koordinaten machen?

03.12.2006, 13:07

Abakus

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Zitat:

Original von ThomasMa
$\begin{eqnarray*} F (x,y,z) = \begin{pmatrix} 3z^{2} + e^{siny} \\ cos(e^{x}) + y^{3} \\ lny + 3x^{2}z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das heisst jetzt wenn ich in zylinderkoordinaten umwandeln möchte dass

$\begin{eqnarray*} lny + 3x^{2}z \end{eqnarray*}$ also die dritte koordinate für $\begin{eqnarray*} F (r,\varphi, z) \end{eqnarray*}$ gleich bleibt.

Was muss ich jetzt mit den ersten beiden koordinaten machen?

Nicht ganz. Berechne einfach $\begin{eqnarray*} F \circ T \end{eqnarray*}$ , d.h. du setzt wie folgt ein:

$\begin{eqnarray*} x := r \cdot \cos \varphi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y := r \cdot \sin \varphi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z := z \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

03.12.2006, 13:40

ThomasMa

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gut, ich hab jetzt

$\begin{eqnarray*} div F = 3 (r^{2} + z^{2}) \end{eqnarray*}$

raus

03.12.2006, 16:31

Abakus

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Zitat:

Original von ThomasMa
gut, ich hab jetzt

$\begin{eqnarray*} div F = 3 (r^{2} + z^{2}) \end{eqnarray*}$

raus

Die obige Divergenz soll zu diesem Vektorfeld gehören ? Dann hast du einen RF bei der Berechnung der Divergenz.

Weiter stellt sich die Frage, was du mit der linken Seite div F machst ? (wovon soll die abhängig sein ?)

Grüße Abakus smile

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