Injektivität und SUrjektivität

23.03.2011, 21:01

icestar_23

Injektivität und SUrjektivität

Meine Frage:
Also hier ist meine Funktion (x,y) -> 2^{x} * 3^{x}
Von N^{2} nach N

Wie beweise ich jetzt Injektivität??
Vielen Dank im Vorraus

Meine Ideen:
Surjektiv kann es nicht sein, da z.B. 7 nicht getroffen werden kann.

23.03.2011, 21:35

Ibn Batuta

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$\begin{eqnarray*} f: \mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}, (x,y)\mapsto 2^x\cdot 3^x=6^x \end{eqnarray*}$

Du solltest dir überlegen, ob die Funktion überhaupt injektiv ist.

Ibn Batuta

23.03.2011, 23:52

icestar_23

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Ich denke schon weil, die Potenzen niemals den gleichen wert ergeben!! Und auch das Produkt zweier verschiedenen Potenzen ergeben niemals den sleben Wert an.
Es wäre schön wenn man mit dem Kurveneditor die Kurven nicht übereinanderlegen kann oder geht das irgendwie??

23.03.2011, 23:55

icestar_23

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Ohh mein gott wie peinlich, die formel ist ..
$\begin{eqnarray*} (x,y) \Rightarrow 2^{x} * 3^{y} \end{eqnarray*}$

25.03.2011, 13:31

icestar_23

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niemand da der mir helfen kann? unglücklich

25.03.2011, 14:47

Merlinius

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Nimm einfach die Definition von Injektivität und rechne drauflos:

$\begin{eqnarray*} 2^{x_1} \cdot 3^{y_1} = 2^{x_2} \cdot 3^{y_2} \Leftrightarrow 2^{x_1-x_2} = 3^{y_2-y_1} \end{eqnarray*}$

Was sagt Dir das jetzt über $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, y_1, y_2 \end{eqnarray*}$ ?

25.03.2011, 14:51

Math1986

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Zitat:

Original von icestar_23
Ohh mein gott wie peinlich, die formel ist ..
$\begin{eqnarray*} (x,y) \Rightarrow 2^{x} * 3^{y} \end{eqnarray*}$

Ich habe keine Lust länger an deinen Formeln rumzuraten

Nimm an es gäbe ein Element welches mehrfach als Funktionswert angenommen wird:
$\begin{eqnarray*} 2^{x_1}\cdot 3^{y_1}=2^{x_2}\cdot 3^{y_2} \end{eqnarray*}$
Daraus kannst du einen Widerspruch zur eindeutigen Prinfaktorzerlegung konstruieren

26.03.2011, 21:46

icestar_23

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Zitat:

Original von Merlinius
Nimm einfach die Definition von Injektivität und rechne drauflos:

$\begin{eqnarray*} 2^{x_1} \cdot 3^{y_1} = 2^{x_2} \cdot 3^{y_2} \Leftrightarrow 2^{x_1-x_2} = 3^{y_2-y_1} \end{eqnarray*}$

Was sagt Dir das jetzt über $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, y_1, y_2 \end{eqnarray*}$ ?

Also Ich muss 4 Natürliche Zahlen finden, damit die Aussage wahr ist! Aber es gibt keine Möglichkeit... also ist die Funktion nicht Injektiv??

26.03.2011, 22:21

Ibn Batuta

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Wieso gibt es die Möglichkeit nicht?

$\begin{eqnarray*} f \text{ injektiv } \Leftrightarrow f(x_1)=f(x_2) \ \Rightarrow x_1=x_2 \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

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