Integral mit Wiener-Prozess

23.03.2011, 22:29

Georg-Ferdinand

Integral mit Wiener-Prozess

Meine Frage:
Hallo

Ich schreibe gerade an meiner Diplomarbeit und müsste für eine Herleitung unbedingt wissen, wie welchen Erwartungswert das folgende Integral hat:

$\begin{eqnarray*} \in = \int_s^T \! e^{\alpha t} \, dW(t) \end{eqnarray*}$

W(t) ist ein Wiener-Prozess.

Kann mir jemand helfen? Vielen herzlichen dank im Voraus.

Grüße,

Gerog-Ferdinand

Meine Ideen:
Ich glaube, dass der Erwartungswert des Integrals Null sein muss, weil der Erwartungswert eines Wiener-Prozess ja auch Null ist. Was meint Ihr?

24.03.2011, 08:08

Mazze

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Naja, wenn Du das für deine Diplomarbeit machst, solltest Du da nicht lieber eine zitierfähige Quelle suchen ?

Abgesehen davon, ist $\begin{eqnarray*} B_t \end{eqnarray*}$ die Brownsche Bewegung (Laut Wiki ein Synonym für Wiener Prozess) und $\begin{eqnarray*} 0 \leq S < U < T \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f : [0,\infty) \times \Omega \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit

(i) f ist $\begin{eqnarray*} B \times F \end{eqnarray*}$ - Messbar

(ii) f ist $\begin{eqnarray*} F_t \end{eqnarray*}$ -adaptiert

(iii) $\begin{eqnarray*} E\left(\int_S^T f(t,\omega)^2dt\right) < \infty \end{eqnarray*}$

Dann gilt :

$\begin{eqnarray*} E\left(\int_S^T f dB_t\right) = 0 \end{eqnarray*}$

Wobei B die Borelsigmaalgebra auf $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ ist, F eine Sigmaalgebra auf Omega und $\begin{eqnarray*} F_t \end{eqnarray*}$ die von $\begin{eqnarray*} \{B_i(s)\}_{1 \leq i \leq n, 0 \leq s \leq t} \end{eqnarray*}$ erzeugte Sigmaalgebra.

Den Beweis erbringt man mittels Elementarfunktionen (entsprechend dem ITO-Kalkül definiert) und dann durch Grenzwertbildung. Falls Du es nur Anwenden willst (und entsprechend Zitieren) , musst Du für

$\begin{eqnarray*} f(t,\alpha) = \exp(t\alpha) \end{eqnarray*}$

nur die Eigenschaften (i) bis (iii) zeigen. Ich kann Dir das Buch , dass ich lese dazu als Quelle anbieten :

Bernt Oksendal - Stochastic Differential Equations

24.03.2011, 16:48

Georg-Ferdinand

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Hallo Mazze

Vielen Dank für Deine schnelle und sehr nützliche Antwort. Ich habe mir sofort das Buch, das Du als Quelle angegeben hast besorgt. Kannst Du mir sagen, auf welcher Seite das alles steht?

Ich bin kein Mathematiker und haben von diesem Zeug deshalb leider nicht so viel Ahnung. Ich studiere BWL und schreibe meine DA über Energiederivate.

In meiner DA möchte ich nur das Ergebnis des Integrals verwenden und wollte halt irgendwie kurz begründen, woher dieses Ergebnis kommt. Ich würde dann eben versuchen die 3 Bedingungen nachzuweisen. Allerdings kann ich mit den Begrifflichkeiten der ersten beiden nicht soviel anfangen.

Du hast ja vielleicht mehr Erfahrungen bei wissenschaftlichen Arbieten: kommt man irgendwie drumherum diese Bedingungen nachweisen zu müssen? Oder reicht vielleicht nur die letzte Bedingung?

In meinem Integral ist Kappa übrigens eine Konstante. Fällt Omega dann in Deiner Funktion weg?

Grüße,
G-F

24.03.2011, 17:34

Mazze

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Also , bei dem Buch hab ich die sechste Auflage.

Die Aussage steht auf Seite 30, Theorem 3.2.1, dort wird $\begin{eqnarray*} f,g \in V(0,T) \end{eqnarray*}$ gefordert. Die Definition von $\begin{eqnarray*} V(0,T) \end{eqnarray*}$ steht auf Seite 25 , Definition 3.1.4. Dort stehen dann auch die drei Eigenschaften die erfüllt sein müssen.

Der Grund, warum die Funktionen diesen 3 Bedingungen genügen müssen ist, damit das Integral

$\begin{eqnarray*} \int f dB_t \end{eqnarray*}$

überhaupt Sinn macht. (Ähnlich wie man nicht allen Funktionen des L^1(R) eine Ableitung zuordnen kann, und so der Ableitungsoperator auf einer Untermenge definiert werden muss). Man kann diese Integrale nicht für alle beliebigen Funktionen definieren.

Zitat:

kommt man irgendwie drumherum diese Bedingungen nachweisen zu müssen? Oder reicht vielleicht nur die letzte Bedingung?

Wenn Du einen mathematischen Satz nutzen willst, musst Du dafür sorge tragen, dass die Voraussetzungen des Satzes erfüllt sind. Entweder per Zitat oder per Beweis. Aber einfach so zu behaupten dass da Null rauskommt geht nicht.

Die Eigenschaften (i) und (ii) sind aber auch nicht schwer nachzuweisen.

Eigenschaft (i) :

Zeige dass die Urbilder der Mengen $\begin{eqnarray*} \{e^{\alpha t} \leq c\} \end{eqnarray*}$ Elemente von $\begin{eqnarray*} B \times F \end{eqnarray*}$ sind.

Eigenschaft (ii) : Schau Dir mal die Definition 3.1.3 auf Seite 25 an, das ist zu zeigen.

Eigenschaft (iii) : trivial

Zitat:

In meinem Integral ist Kappa übrigens eine Konstante. Fällt Omega dann in Deiner Funktion weg?

Die Funktion ist dann konstant bezüglich Omega.

24.03.2011, 21:07

Georg-Ferdinand

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Oh man, ich find das immer noch ganz schön schwierig, wenn man nicht in dem Thema drinsteht.
Ich kann Dir ja kurz mal den Hintergrund schildern und Dich darum bitten, dass Du mir noch ein paar Tipps gibt's wie ich die Erfüllung der ersten beiden Bedingungen nachweisen kann.

Ich habe einen stochastischen Prozess, mit dem die Preisentwicklung von Energiepreisen modelliert wurde. Nach einigen Substitutionen und Anwendungen von Ito's Lemma sieht er so aus:

$\begin{eqnarray*} dY = \alpha (\beta - \frac{1}{2\alpha}\sigma)e^{\alpha t} dt + \sigma e^{\alpha t} dB(t) \end{eqnarray*}$

Ich will nun die Standardabweichung des Prozesses für eine Änderung von Y zwischen t und T ermitteln. Dafür ist nur der zweite Term relevant, den ersten kann ich also ignorieren, richtig?

Die Varianz ist allgemein:

$\begin{eqnarray*} \epsilon = E(\epsilon^2)-(E(\epsilon))^2 \end{eqnarray*}$

Den ersten Termn konnte ich mit der Iso-Symmetrie bereits lösen. Der zweite Term ist es, um den es sich hier dreht.

Kannst Du mir bitte noch ein paar Tipps geben. Wie immer vielen Dank im Voraus!

25.03.2011, 06:46

Mazze

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Willst Du die Standardabweichung von $\begin{eqnarray*} dY \end{eqnarray*}$ oder von $\begin{eqnarray*} Y bestimmen ? \end{eqnarray*}$

25.03.2011, 10:49

Georg-Ferdinand

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Ich möchte die Standardabweichunv on Y(T), ausgehend von Y(t). Deshalb würde ich in den Grenzen zwischen t und T ingegrieren.
t ist jetzt ein fester Wert.

25.03.2011, 15:49

Mazze

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Naja, für den zweiten Term sind halt genau die 3 Bedingungen nachzuprüfen. Betrachten wir also

$\begin{eqnarray*} E(Y) \end{eqnarray*}$ , wegen der Linearität haben wir

$\begin{eqnarray*} E(\text{Rest}) + \sigma E(\int_t^T \exp(\alpha t)dB_t) \end{eqnarray*}$

Wenn jetzt $\begin{eqnarray*} f(t,\omega) = \exp(\alpha t) \end{eqnarray*}$ die drei Eigenschaften erfüllt folgt, dass der zweite Erwartungswert 0 ist.

(i) Es sei B die Borelalgebra auf $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ und F eine Sigmaalgebra auf Omega. Dann ist (für c > 0)

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(\{f \leq c\} ) = \{ t \in [0,\infty) | \alpha t \leq \log(c) \} \times \Omega \end{eqnarray*}$ (warum ist das so ? ),

und da $\begin{eqnarray*} \Omega \in F \end{eqnarray*}$ per Definition ist und $\begin{eqnarray*} \{ t \in [0,\infty) | \alpha t \leq \log(c) \} \end{eqnarray*}$ abgeschlossen, und damit in B ist , ist natürlich

$\begin{eqnarray*} \{ t \in [0,\infty) | \alpha t \leq \log(c) \} \times \Omega \in B \times F \end{eqnarray*}$

Damit ist f also $\begin{eqnarray*} B \times F \end{eqnarray*}$ -Messbar.

Bedingung (i) ist also erfüllt. (ich nehme mal Alpha > 0 an)

Bedingung (ii) : Wir betrachten (nach Definition 3.1.3) die Abbildung

$\begin{eqnarray*} g : \Omega \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \omega \mapsto f(t,\omega) \end{eqnarray*}$

und zeigen dass g $\begin{eqnarray*} F_t \end{eqnarray*}$ messbar ist. Es ist

$\begin{eqnarray*} g^{-1}(\{g \leq c\}) = \Omega \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} g^{-1}(\{g \leq c\}) = \emptyset \end{eqnarray*}$ für alle t. (warum ist das so ? )

Damit ist $\begin{eqnarray*} g^{-1}(\{g \leq c\}) \in F_t \end{eqnarray*}$ , und damit ist g F_t-messbar.

Bedingung 2 ist erfüllt. Was man braucht um den Beweis zu verstehen :

Definition der Sigmaalgebra.
Definition der Borelalgebra.
Ein wenig elementare Mengenlehre, insbesondere Verständnis des Urbildes von Mengen.
Wissen, was Messbare Abbildungen sind, uns warum ich die Mengen $\begin{eqnarray*} \{g \leq c\} \end{eqnarray*}$ betrachte.

Bedingung 3: Dein Part Augenzwinkern

26.03.2011, 01:11

Georg-Ferdinand

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Hallo Mazze

Du hast meinen Respekt dafür, wie schnell Du das einfach so aus'm Ärmel schütteln kannst! Hast Du Mathe studierst?
Aber Danke erst mal für Deine Mühe. Ich muss nur ehrlicherweise gestehen, dass ich da nicht so ganz mitkomme. Ich merke auch, dass das alles den Rahmen meiner Arbeit sprengen würde. Außerdem würde mir das eh keiner so abnehmen und spätestens bei meiner Diplomarbeits-Verteidigung würde ich bei der einfachsten Frage dazu wahrscheinlich ins Wanken geraten.

Ich wollte Dich mal bitten, ob Du Dir die folgende Abschlussarbeit, die ich Netz gefunden habe, mal anschauen könntest.

http://etd.library.pitt.edu/ETD/availabl...inal-Thesis.pdf

Auf Seite 13 will der Autor genau wie ich die Varianz aus einem stochastischen Prozess herleiten. Er benutzt dafür genau wie ich das Ito-Isometrie-Theorem und schreib, dass daraus zwei Dinge folgen:
$\begin{eqnarray*} E[\int_0^T \! f(x) \, dW(t)]=0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} E[(\int_0^T \! f(x)\,dW(t))^2]=\int_0^T \! E[f(x)]^2 \, dt \end{eqnarray*}$

Damit das gelten kann, gibt der Autor nur eine Bedingung an, die sich leicht zeigen lässt. Ist ja alles fast zu schön um wahr zu sein oder ist irgendwas faul dran? Ansonsten würd ich's nämlich gerne genauso machen wie er. Ich hab nur leider keine Quelle, die ich dafür angeben kann. Der Autor gibt zwar zwei Quellen hinten an, aber die Bücher kann ich nirgends auftreiben.

Grüße,
G-F

26.03.2011, 10:56

Mazze

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Bei diesem Satz setzt er Voraus, dass $\begin{eqnarray*} f \in H_2(0,T) \end{eqnarray*}$ gilt und bezeichnet diesen Raum als Raum der Zufallsfunktionen. Leider gibts im dem Dokument keine Definition eben dieses Raumes. Und er erklärt nicht, warum $\begin{eqnarray*} \exp(\alpha t) \in H_2(0,T) \end{eqnarray*}$ gilt. Aber irgendwie vermute ich , dass $\begin{eqnarray*} H_2(0,T) = V(0,T) \end{eqnarray*}$ ist. Vermutlich wird es als trivial angesehen (und jeder der Maßtheorie kennt sieht auch dass mein Beweis oben eigentlich trivial ist Augenzwinkern

)

26.03.2011, 11:00

Georg-Ferdinand

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.. und deshalb würdest Du mir nicht empfehlen, das genauso in meiner Arbeit zu machen?

26.03.2011, 11:12

Mazze

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Der Punkt ist, dass Du wissenschaftlich arbeiten sollst. Du könntest natürlich zweifelsohne einfach den Artikel zitieren. Dann kommst Du nicht in die Bendrägnis es erklären zu müssen. Nur weiß ich nicht ob diese Masterarbeit als zitierfähige Quelle taugt. Frag doch mal deinen Betreuer was er dazu meint. Vielleicht sieht er es ja auch als trivial an.

edit :

Hier wird der Raum definiert, und wie ichs mir dachte, dass ist nur ein anderer Bezeichner für den Raum V(0,T) aus meinem Buch.

26.03.2011, 12:52

Georg-Ferdinand

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Ich hab jetzt noch ne andere Quelle gefunden: Auf Seite 128 im Buch "Stochastic Calculus for Finance II" von Steven E. Shreve (leider nicht bei google Books verfügbar)
wird bewiesen, dass ein Ito-Integral ein Martingal ist. Und da ein Martingal ja immer so definiert ist, dass es einen Erwartungswert von Null hat, wäre mein Problem gelöst.
Meine Gleichung hat nämlich die gleiche Form wie ein Ito-Integral. Aber wahrscheinlich müsste ich trotzdem erstmal nachweisen, dass es tatsächlich ein Ito-Integral ist.

Bei Interesse kann ich Dir die Seiten aus dem Buch irgendwie zukommen lassen.

Ansonsten denke ich mal, werd ich mich auf dieses Buch beziehen. Meinen Betreuer kann ich leider nicht mehr fragen, weil die Arbeit spätestens am Montag fertig sein muss.

26.03.2011, 14:13

Mazze

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Zitat:

Und da ein Martingal ja immer so definiert ist, dass es einen Erwartungswert von Null hat, wäre mein Problem gelöst.

Das ist nicht ganz korrekt. Ist $\begin{eqnarray*} Y_n \end{eqnarray*}$ ein martingal, so ist $\begin{eqnarray*} E(Y_n) = E(Y_0) \end{eqnarray*}$ . Allerdings reicht das auch. Denn da brownsche Bewegung bei 0 startet passt das dann.

Zitat:

Ansonsten denke ich mal, werd ich mich auf dieses Buch beziehen. Meinen Betreuer kann ich leider nicht mehr fragen, weil die Arbeit spätestens am Montag fertig sein muss.

Das ist natürlich eine reichlich kurze Dauer um solche Probleme anzugehen.

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