Wronski-Matrix

24.03.2011, 10:33	TH0R	Auf diesen Beitrag antworten »
Wronski-Matrix Also ich habe folgende aufgabe: Ich soll auf lineare unabhängigkeit in R überprüfen. $\begin{eqnarray} 1) y1(x)=x, y2(x)=e^x, y3(x)=sinx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2) y1(x)=x^2, y2(x)=2sinx, y3(x)=3x^2-sinx \end{eqnarray}$ Das ist ja dann für 1) die Wronskimatrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x & e^x & sinx \\ 1 & e^x & cosx \\ 0 & e^x & -sinx \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann die Determinante bilden und die muss ja dann für alle x ungleich null sein, damit sie linear unabhängig sind. Das ist die Determinate für 1) $\begin{eqnarray} detW=-xe^xsinx+sinxe^x-xe^xcosx+e^xsinx \end{eqnarray}$ umgeformt $\begin{eqnarray} detW=e^x((2-x)sinx-xcosx) \end{eqnarray}$ jedoch wird das ganze doch für die Null auch Null. Ist das dann nicht linear unabhängig oder nimmt man die Null nicht? Aber diese ist ja auch ein Element der Reellen Zahlen. Die zweite ist klar. Da hat man lineare Abhängigkeit unter den einzelnen y´s.
24.03.2011, 11:03	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wronski-Matrix Die Wronski-Determinante darf nicht die Nullfunktion sein. Das heißt, dass es reicht, wenn sie für ein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ungleich Null ist. Das ist hier offensichtlich erfüllt. Gruß, Reksilat.
24.03.2011, 11:15	TH0R	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wronski-Matrix Das heißt die Determinante darf insich nicht Null(=Null sein= werden? und das hat nichts mit den x-Werten zu tun die man einsetzen könnte?
24.03.2011, 11:18	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wronski-Matrix Genau. Noch ein Beispiel: $\begin{eqnarray} \{1,x,x^3\} \end{eqnarray}$ sind offensichtlich linear unabhängig. Die Wronski-Determinante ist $\begin{eqnarray} 6x \end{eqnarray}$ , nimmt im Nullpunkt den Wert Null an, ist aber eben nicht die Nullfunktion. Kannst es ja auch mal bei Deiner zweiten Aufgabe durchrechnen. Gruß, Reksilat.

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