Basis des Kerns bestimmen bei 2 Freiheitsgraden! |
| 24.03.2011, 10:37 | steviehawk | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Basis des Kerns bestimmen bei 2 Freiheitsgraden! hallo Leute, folgendes: Ich muss die Basis des Kerns einer Matrix bestimmen also die Menge aller x für die gilt Ax=0 ist mir klar soweit. Die Matrix ist eine 4x5Matrix, nun nach dem Gaussalgo. ist die Letze Zeile Null, ich habe also 3 Gleichungen und 5 Variablen (x1 - x5). Dass heisst ich kann 2 meiner xi wählen. Zb. x5=1 und x4=0. Nun habe ich auch einen Vektor berechnet und die Probe gemacht, Ax gibt wirklich 0 mit diesem Vektor. Nun ist aber laut Dimensionsformel, dim(ker(A)) = n - rg(A) also 5-3=2. Ich habe allerdings nur einen Vektor berechnet!!! Und wie komme ich jetzt auf die Basis die ja aus 2Vektoren bestehen muss?? Oder habe ich bereits bei der Wahl der Variablen und der weiteren Berechnung einen Fehler gemacht?? Meine Ideen: Sind etwa alle vielfachen dieses errechneten Vektors auch im kern, dann könnte ich tv als Element im Kern betrachten, diese wären aber keine Basis da sie lin. abhängig sind!! Danke für die Hilfe!!! |
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| 24.03.2011, 10:50 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, es gibt hier zwei Möglichkeiten: Entweder du wählst zwei freie Variablen beliebig, setzt also zum Beispiel und rechnest weiter. Du bist nun in eine andere Richtung gegangen, die aber auch richtig ist (eigentlich sogar identisch): Du hast sofort gesetzt. Um auf deinen zweiten Basisvektor des Spanns zu kommen, setze und löse das LGS damit. Allgemein funktioniert das so, dass du freie Variablen hast und dann jeweils eine gleich 1 und die anderen gleich 0 setzt. Bei drei freien Variablen würdest du also drei Lösungen berechnen. |
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| 24.03.2011, 11:10 | steviehawk | Auf diesen Beitrag antworten » |
Super danke für deine Antwort, bei 3 wählbaren Variablen würde ich dann auch wieder eine mit 1 und die anderen beiden mit 0 editieren oder? und um die anderen 2 Basisvektoren auszurechen eben jeweils die nächste 1 und die anderen 0 usw. stimmt?? Ist ja garnicht so schwer wie ich dachte 
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| 24.03.2011, 11:12 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » |
Jawohl, das stimmt. 
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