Gruppen der Ordnung 34 [PFA]

24.03.2011, 14:30

tigerbine

Gruppen der Ordnung 34 [PFA]

Dieses Mal geht es um Isomorphietypen von G mit |G|=34

Klassiker:
$\begin{eqnarray*} G \cong_1 \mathbb Z_{34} \cong \mathbb Z_{2} \times \mathbb Z_{17} \end{eqnarray*}$ (wegen der Teilerfremdheit von 2 und 17) abelsch

$\begin{eqnarray*} G \cong_2 \mathbb D_{17} \cong \mathbb Z_{2} \ltimes \mathbb Z_{17} \end{eqnarray*}$ (hier ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ kein Normalteiler) nicht abelsch.

Gibt es noch mehr? Wieder Primfaktorzerlegung:

$\begin{eqnarray*} |G|=2\cdot 17 \end{eqnarray*}$

=> Das ist vom Typ pq mit p<q und p,q prim => Da gab es nach den Sylowsätzen ein Lemma zu.

=> Es ist p=2, daher haben wir schon alles gefunden.

24.03.2011, 17:16

Reksilat

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RE: Gruppen der Ordnung 34 [PFA]
Stimmt auch.
G wird von einem 2er und einem 17er erzeugt. Der 2er muss auf der $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_{17} \end{eqnarray*}$ operieren. Das macht er trivial (->erster Fall) oder er invertiert den erzeugenden 17er (->zweiter Fall)

Durch diese Operation ist die Gruppe eindeutig bestimmt.

Gruß,
Reksilat.

24.03.2011, 17:17

tigerbine

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RE: Gruppen der Ordnung 34 [PFA]

Zitat:

Original von Reksilat
Der 2er muss auf der $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_{17} \end{eqnarray*}$ operieren.

Kannst du mir das "erläutern" also wie habe ich das "muss" zu verstehen? Wann "muss" das immer so sein? Wink

24.03.2011, 17:20

Reksilat

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RE: Gruppen der Ordnung 34 [PFA]
Die 17-Sylowgruppe ist normal in der ganzen Gruppe (Untergruppen vom Index zwei sind immer normal).
Damit operiert eben alles aus der Gruppe auf dieser Untergruppe.

Muss jetzt erst mal weg. Wink

Gruß,
Reksilat.

24.03.2011, 18:24

tigerbine

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RE: Gruppen der Ordnung 34 [PFA]
Ah, vielleicht hab ich es verstanden. Für einen Normalteiler N gilt:

$\begin{eqnarray*} uNu^{-1} = N~\forall u \in G \end{eqnarray*}$ (*)

Nun nehme man sich ein u aus G her und betrachte die davon erzeugte zyklische (Unter)gruppe U=<u>. Dann gilt ja wegen (*) auch:

$\begin{eqnarray*} uNu^{-1} = N~\forall u \in U \end{eqnarray*}$ (**)

Nun betrachten wir mal

$\begin{eqnarray*} \Phi: (u,n)\mapsto unu^{-1},~u \in U, n\in N \end{eqnarray*}$

Wegen (**) gilt

$\begin{eqnarray*} \Phi: U \times N \to N \end{eqnarray*}$

Des weiteren ist

$\begin{eqnarray*} \Phi(e,n) = ene^{-1}=n,~\forall n \in N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi(uv,n) = (uv)n(uv)^{-1}= u(vnv^{-1})u^{-1} = \Phi(u,\Phi(v,n)) ,~\forall u,v \in U, \forall n \in N \end{eqnarray*}$

Also operiert U auf N (durch Konjugation...)
________________________________

Zitat:

Damit operiert eben alles aus der Gruppe auf dieser Untergruppe.

Also die Konjugation habe ich ja nun so ausgewählt, damit man mit $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ wieder in N landet (**). Aber das ist die einzige Möglichkeit, wie U auf N operieren kann? (Begründung)

________________________________

Zitat:

Das macht er trivial (->erster Fall) oder er invertiert den erzeugenden 17er (->zweiter Fall)

So, wie komme ich da nun drauf. Lasse ich hier mal was fest und wenn ja, was.

(i) Im Kapitel "Gruppenoperationen" wird ja ein Element aus N fest gelassen und man schaut dann die Bahn an.

(ii) Wenn ich ein Element aus u fest lasse, und ganz N nehme, dann könnte ich das als Automorphismus von N verstehen (kein innerer Aut, weil u nicht in N ist). Denn es ist mit $\begin{eqnarray*} u\in G, N \trianglelefteq G \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \phi_u: N \to N,~n \mapsto unu^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi_u(e)=ueu^{-1}=uu^{-1}=e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi_u(mn)=u(mn)u^{-1}=(umu^{-1})(unu^{-1}) =\phi_u(m) \phi_u(n) \end{eqnarray*}$

Die Surjektivität bekomme ich durch die Normalteilerergenschaft $\begin{eqnarray*} uNu^{-1}=N \end{eqnarray*}$ und die Injektivität entweder durch

$\begin{eqnarray*} umu^{-1}=unu^{-1} \Leftrightarrow m=n \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} umu^{-1}=e \Leftrightarrow m=e \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} Ker(\phi_u)=\{e\} \end{eqnarray*}$

__________________________________________________________

Mmh, ist das nur "hier" so, oder ginge das allgemeiner? Also egal welche Operation vorliegt. Mit fehlt irgendwie die Gedankliche Brücke wie ich von "Gruppe operiert" auf die Idee komme "Automorphismus betrachten".

Vielleicht kannst du hier (mein Buch) mal schauen. Wäre das dann Lemma 7.1 (auf nächster Seite)? D.h. die Bijektion von $\begin{eqnarray*} \phi_u \end{eqnarray*}$ bekomme ich schon aus dem Lemma, dass $\begin{eqnarray*} \phi_u \end{eqnarray*}$ ein Homomorphismus ist, muss ich aber prüfen?

24.03.2011, 19:54

Mystic

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RE: Gruppen der Ordnung 34 [PFA]
Meiner Meinung nach solltest du dein $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ total "links liegen lassen" und dich für den Abbau bezeichnungstechnischer Hürden voll auf den (verwandten und doch nicht gleichen) Homomomorphismus

$\begin{eqnarray*} \phi:U \to Aut(N) \text{ mit } u \mapsto \phi_u \end{eqnarray*}$

konzentrieren, wobei $\begin{eqnarray*} \phi_u:N \to N \end{eqnarray*}$ der durch u induzierte Automorphismus $\begin{eqnarray*} n \mapsto unu^{-1} \ (n \in N) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist... Man hat dann in Hinblick auf Lemma 7.1 in deinem Link die totale Entsprechung $\begin{eqnarray*} \lambda \leftrightarrow \phi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_u \leftrightarrow \phi_u \end{eqnarray*}$ ... In diesem Lemma wird auch (die für unsere Zwecke m.E. nicht besondern interessante) Frage beantwortet, wann das dortige $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ sogar ein Monomorphismus ist... In unserem Fall lautet die Antwort: $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist genau dann ein Monomorphismus, wenn es kein $\begin{eqnarray*} u \in U \setminus\{e\} \end{eqnarray*}$ gibt, welches im Zentralisator von N liegt...

24.03.2011, 19:58

tigerbine

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RE: Gruppen der Ordnung 34 [PFA]

Zitat:

Original von Mystic
Man hat dann in Hinblick auf Lemma 7.1 in deinem Link die totale Entsprechung $\begin{eqnarray*} \lambda \leftrightarrow \phi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_u \leftrightarrow \lambda_u \end{eqnarray*}$ ...

Du meintest $\begin{eqnarray*} \lambda_u \leftrightarrow \phi_u \end{eqnarray*}$ , oder?

24.03.2011, 20:05

Mystic

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RE: Gruppen der Ordnung 34 [PFA]

Zitat:

Original von tigerbine
Du meintest $\begin{eqnarray*} \lambda_u \leftrightarrow \phi_u \end{eqnarray*}$ , oder?

Ja danke, hab's editiert...

24.03.2011, 20:07

tigerbine

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RE: Gruppen der Ordnung 34 [PFA]
Nun zum Fachlichen:

Zitat:

Meiner Meinung nach solltest du dein $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ total "links liegen lassen" und dich für den Abbau bezeichnungstechnischer Hürden voll auf den (verwandten und doch nicht gleichen) Homomomorphismus

$\begin{eqnarray*} \phi:U \to Aut(N) \text{ mit } u \mapsto \phi_u \end{eqnarray*}$

konzentrieren,

Also was meint ihr jetzt, wenn ihr mir als Hinweis sagt: U operiert auf N. Dann soll ich mir nicht die Operation/Bahnen usw anschauen, sondern, den Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \lambda \leftrightarrow \phi \end{eqnarray*}$ aus Lemma 7.1?

24.03.2011, 20:20

Mystic

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RE: Gruppen der Ordnung 34 [PFA]

Zitat:

Original von tigerbine
Also was meint ihr jetzt, wenn ihr mir als Hinweis sagt: U operiert auf N. Dann soll ich mir nicht die Operation/Bahnen usw anschauen, sondern, den Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \lambda \leftrightarrow \phi \end{eqnarray*}$ aus Lemma 7.1?

Ja genau, durch diesen Homomorphismus wird die Operation von U auf N vollkommen beschrieben... In allen bisher besprochenen Fällen ist es sogar noch schöner: Wenn U zyklisch ist mit u als Erzeuger, dann genügt schon die Angabe von $\begin{eqnarray*} \phi_u \end{eqnarray*}$ allein, um die Operation von U auf N (und im Fall eines semidirekten Produkts die Verknüpfung in NU !) vollkommen zu beschreiben... Eigentlich ein Wahnsinn: Wir müssen nur den Automorphismus $\begin{eqnarray*} \phi_u \end{eqnarray*}$ kennen (das war bisher fast immer die identische Abbildung oder die Inversenbildung auf N) und wir wissen alles!!! smile

24.03.2011, 20:52

tigerbine

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RE: Gruppen der Ordnung 34 [PFA]

Zitat:

Ja genau, durch diesen Homomorphismus wird die Operation von U auf N vollkommen beschrieben.

AH!! Das ist eine "neuer" Blickwinkel auf das Thema .. Da war ich dann "falsch" konditioniert.

Zitat:

Eigentlich ein Wahnsinn: Wir müssen nur den Automorphismus $\begin{eqnarray*} \phi_u \end{eqnarray*}$ kennen (das war bisher fast immer die identische Abbildung oder die Inversenbildung auf N) und wir wissen alles!!!

Du sagst es ... smile

Danke euch beiden!

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