Zufallsvariablen

24.03.2011, 14:48

Anne_MS

Zufallsvariablen

Hallo,
ich hab hier eine Frage aus der ersten Klausur, die ich leider nicht lösen konnte. Leider ist mir auch die Lösung unbekannt. Wie geht man da am besten dran?

Die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_1,X_2,X_3,... \end{eqnarray*}$ seinen stochastisch unabhängig und identisch verteilt mit $\begin{eqnarray*} E[X_1]=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V(X_1)=s^2<\infty \end{eqnarray*}$ . Ferner sei
$\begin{eqnarray*} Y_n:=2*X_n*X_{n+1} \end{eqnarray*}$ .
a) Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} E[Y_n], V(Y_n), n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
b) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} K(Y_i,Y_j)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i,j \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |i-j| \geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt.
c) Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } P\left(| \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n Y_i |\geq \epsilon \right)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

also ich hab mir überlegt:
Die ZV sind identisch verteilt und unabhängig mit $\begin{eqnarray*} E[X_1]=0 \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} E[X_i]=0 \end{eqnarray*}$ für alle i. Analog bei der Varianz.
Dann hab ich
a) $\begin{eqnarray*} E[Y_n]=E[2*X_n*X_{n+1}]=2*E[X_n]*E[X_{n+1}]=2*0*0=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V[Y_n]=V[2*X_n*X_n+1]=4*V[X_n]*V[X_n+1]=4*s^2*s^2=4s^4 \end{eqnarray*}$

stimmt das soweit? Bin stark verunsichert leider Gott

24.03.2011, 18:13

Mazze

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Es ist

$\begin{eqnarray*} V(Y_n) = E(Y_n^2) - \underbrace{E(Y_n)^2}_{=0} = E(Y_n^2) = 2E(X_n^2X_{n+1}^2) \end{eqnarray*}$

Deine Berechnungen für die Varianz kann ich nicht nachvollziehen. Der Erwartungswert ist richtig.

24.03.2011, 18:31

HAL 9000

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@Mazze

Gut, dass du vor einer Rechnung $\begin{eqnarray*} V(X_1X_2) \stackrel{?}{=} V(X_1)V(X_2) \end{eqnarray*}$ warnst, denn die ist selbst bei unabhängigen $\begin{eqnarray*} X_1,X_2 \end{eqnarray*}$ i.a. falsch.

Sind $\begin{eqnarray*} X_1,X_2 \end{eqnarray*}$ aber wie hier zusätzlich zentriert, dann stimmt diese Rechnung. D.h. du hast vergessen, den Vorfaktor 2 zu quadrieren, denn die $\begin{eqnarray*} 4s^4 \end{eqnarray*}$ von Anne_MS sind - ob nun mit Glück oder Verstand ermittelt - tatsächlich richtig. Augenzwinkern

Ich würde es aber ebenso wie Mazze vorziehen, über die Erwartungswerte zu gehen, denn $\begin{eqnarray*} E(X_1X_2) = E(X_1)E(X_2) \end{eqnarray*}$ ist für unabhängige $\begin{eqnarray*} X_1,X_2 \end{eqnarray*}$ uneingeschränkt richtig.

24.03.2011, 19:42

Anne_MS

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Mit der 4, ich weiß halt, dass die Varianz quadratisch ist. also $\begin{eqnarray*} V(aX)=a^2V(X) \end{eqnarray*}$

zur b) $\begin{eqnarray*} 0=K(Y_i,Y_j)=E(Y_i*Y_j)-E(Y_i)*E(Y_j) \end{eqnarray*}$
nun sind $\begin{eqnarray*} E(Y_i)=0=E(Y_j) \end{eqnarray*}$ , also muss $\begin{eqnarray*} E(Y_i Y_j)=0 \end{eqnarray*}$ . dafür brauch man dann wahrscheinlich die zusätzliche Bedingung, aber ich weiß nicht wie.

c) WLLN: $\begin{eqnarray*} Y_1,...,Y_n \end{eqnarray*}$ paarweise unabhängig mit $\begin{eqnarray*} EY_i:=m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s^2:=VY_i< \infty \end{eqnarray*}$ dann gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } P\left(| \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n Y_i -m |> \epsilon \right)=0 \end{eqnarray*}$
Hier: $\begin{eqnarray*} m=0 \end{eqnarray*}$ , also gilt schon mal die Relation ">".
Bleibt nur noch das = zu zeigen, aber wie?

24.03.2011, 19:47

Math1986

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c) Verwende das schwache Gesetz der großen Zahlen

24.03.2011, 19:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von Anne_MS
nun sind $\begin{eqnarray*} E(Y_i)=0=E(Y_j) \end{eqnarray*}$ , also muss $\begin{eqnarray*} E(Y_i Y_j)=0 \end{eqnarray*}$

Na denk mal drüber nach, ob dieser Schluss auch für $\begin{eqnarray*} i=j \end{eqnarray*}$ richtig ist...

24.03.2011, 21:10

Anne_MS

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@Math1986: hab ich doch das WLLN =schwache gEsetz der großen Zahlen da hingeschrieben. Das is das ja quasi 1:1. Nur das = müsste ich noch iwie zeigen.

bei der b) müsste $\begin{eqnarray*} E(Y_iY_j)=E(Y_i)E(Y_j) \end{eqnarray*}$ sein, aber nur für verschiedene i und j. Bei Gleichheit, gilt diese Relation wohl nicht. Aber mir ist grad nicht klar warum.

24.03.2011, 21:14

Math1986

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Zitat:

Original von Anne_MS
@Math1986: hab ich doch das WLLN =schwache gEsetz der großen Zahlen da hingeschrieben.

Ich habe die Abkürzung WLLN noch nie zuvor gehört, jetzt hab ichs verstanden

Zitat:

Original von Anne_MS
Das is das ja quasi 1:1. Nur das = müsste ich noch iwie zeigen.

Berechne erstmal
$\begin{eqnarray*} P\left(| \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n Y_i -m |> \epsilon \right) \end{eqnarray*}$
Und zeige dann dass der Grenzwert gegen 0 geht

24.03.2011, 21:25

Anne_MS

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Wieso soll ich das denn berechnen? Reicht es nicht zu sagen, die Bedingungen für den WLLN sind hier erfüllt, also ist der Grenzwert 0?
Vorallem wüsste ich nicht, wie ich das rechnen sollte...

24.03.2011, 21:29

Math1986

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Zitat:

Original von Anne_MS
Reicht es nicht zu sagen, die Bedingungen für den WLLN sind hier erfüllt, also ist der Grenzwert 0?

Ja, das reicht, welche sind das und wo liegt das Problem?

24.03.2011, 23:15

Anne_MS

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c) WLLN: $\begin{eqnarray*} Y_1,...,Y_n \end{eqnarray*}$ paarweise unabhängig mit $\begin{eqnarray*} EY_i:=m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s^2:=VY_i< \infty \end{eqnarray*}$ dann gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } P\left(| \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n Y_i -m |> \epsilon \right)=0 \end{eqnarray*}$
Hier: $\begin{eqnarray*} m=0 \end{eqnarray*}$ , also gilt WLLN.
Jetzt ist nur die Frage. Im WLLN steht >, in der Aufgabe $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ . Macht das nen Unterschied? Wenn ja, was muss ich dann noch tun?

24.03.2011, 23:17

Merlinius

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Ich habe die Klausur geschrieben smile

Das Gesetz der großen Zahlen ist nicht anwendbar, da die $\begin{eqnarray*} Y_i \end{eqnarray*}$ nicht paarweise unabhängig sind. Es gab auch eine Übungsaufgabe (Blatt 10), bei der man ähnlich vorgehen musste. Wende die Tschebychev-Ungleichung an, dann benutze, dass die Kovarianzen alle 0 sind im weiteren Vorgehen.

24.03.2011, 23:44

Anne_MS

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Und bestanden?
Die Lösungen zur Klausur hast du nicht zufällig oder?
Hilfsmittel sind auch keine erlaubt oder?
Werd mir deinen Hinweis morgen mal zu Herzen nehmen.

25.03.2011, 00:02

Merlinius

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Zitat:

Original von Anne_MS
Und bestanden?
Die Lösungen zur Klausur hast du nicht zufällig oder?
Hilfsmittel sind auch keine erlaubt oder?
Werd mir deinen Hinweis morgen mal zu Herzen nehmen.

Jau, bestanden (1,0 Prost

) Lösungen habe ich nicht, aber ich kann wohl noch die ein oder andere reproduzieren. Nein, keine Hilfsmittel notwendig/erlaubt. Ich habe vor der Klausur einfach alle Übungsaufgaben noch einmal von vorne bis hinten durchgerechnet und ein bisschen im Buch geblättert. Damit ging's dann ganz gut. Bei der Aufgabe aus diesem Thread hat es sich z.B. wirklich gelohnt, wenn man die Übungsaufgabe kannte und nicht in die WLLN-Falle getappt ist.

Edit: Das gilt zumindest für "unsere" Definition des WLLN, denn die fordert paarweise Unabhängigkeit. Wie man an der Aufgabe sieht, genügt hier schon die paarweise Unkorreliertheit bei den gegebenen Varianzen (wiki), aber das war in der Klausur ausdrücklich nicht erwünscht.

25.03.2011, 00:14

Anne_MS

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Also, wenn du Lust hast, mich würden die anderen Lösungen auch interessieren. Hab bisher erst die ersten 3 Aufgaben versucht. Für die anderne noch keine Zeit gehabt. Zeit ist sowieso das Problem. Bin die Übungen ma überflogen mehr aber auch nicht. Lag leider länger im Krankenhaus und deswegen wirds jetzt sehr eng unglücklich

Aber ich denke, dass die Klausur der ersten sehr ähneln wird.
Achja und Glückwunsch Augenzwinkern

Bestehen würd mir reichen Augenzwinkern

25.03.2011, 00:19

Merlinius

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Ich schreibe am Montag und Dienstag Klausur (leider zu faul gewesen letztes Semester, um sie zum ersten Termin zu schreiben unglücklich

), deshalb hab ich nicht so viel Zeit, die ganze Klausur durchzugehen. Du kannst mich aber bei Skype hinzufügen ( merlinius_ ). Die ein oder andere Frage kann ich sicher beantworten.

25.03.2011, 00:50

Anne_MS

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Hab leider kein Skype. Vielleicht kannst du hier ja noch posten, was du meinst, welche MC-Kreuze richtig sind?
Vielleicht bekommst du das auf die schnelle hin, dann kann ich das noch vergleichen.

25.03.2011, 01:20

Merlinius

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Ich hab die Klausur leider nicht. Im MC Teil hatte ich auch ein paar falsch. Ohne nachzurechnen kenne ich die Lösungen aber auch nicht mehr auswendig, es waren auch ne Reihe schwierige dabei.

25.03.2011, 11:16

Anne_MS

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Ich hab hier mal die MC-Teile hochgeladen:
img96.imageshack.us/g/mc1d.jpg/
Wenn du oder jemand anderes seine Meinung dazu kundtun möchte, gerne smile

25.03.2011, 12:24

Anne_MS

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Hab jetzt die c) mal mit Tscheby versucht:
$\begin{eqnarray*} P\left(| \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n Y_i -m|\geq \epsilon \right) \leq \frac{V(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n Y_i ) }{\epsilon^2} = \frac{\frac{1}{n^2}V(\sum\limits_{i=1}^n Y_i ) }{\epsilon^2} = \frac{\frac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^nV( Y_i ) }{\epsilon^2} = \frac{\frac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^n 4s^2 }{\epsilon^2} = \frac{\frac{1}{n^2} n*4s^2 }{\epsilon^2} =\frac{\frac{1}{n} 4s^2 }{\epsilon^2} \end{eqnarray*}$ und das geht für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ gegen 0.

Ergo, sollte man besser immer mit Tscheby rechnen, weil die Voraussetzungen dafür schwächer sind?

25.03.2011, 12:29

Anne_MS

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Achja und eine Frage noch, da ich gehört habe, dass die ziemlich viele Punkte abgezogen hat, wenn man einfachste Schritte nicht begründet hat.
bei der a) hab ich das ja so gemacht:
$\begin{eqnarray*} E[Y_n]=E[2*X_n*X_{n+1}]=2*E[X_n]*E[X_{n+1}]=2*0*0=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} V[Y_n]=V[2*X_n*X_n+1]=4*V[X_n]*V[X_n+1]=4*s^2*s^2=4s^4 \end{eqnarray*}$ [/latex]
Wie begründe ich denn am besten, dass ich E und V so auseinanderziehe? Linearität des Erwartungswerts + der Varianz?
Die 4 bei der Varianz würd ich jetzt damit begründen, dass die Varianz quadratisch ist.

25.03.2011, 12:38

Anne_MS

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Oh man, bin schon nicht mehr ganz anwesend Augenzwinkern

bei der a) sollte man die Varianz ja i.A. besser so berechnen:
$\begin{eqnarray*} V(Y_n) = E(Y_n^2) - \underbrace{E(Y_n)^2}_{=0} = E(Y_n^2) = E(2X_n^2X_{n+1}^2) \end{eqnarray*}$
wobei mir hier nicht klar ist, wie ich weiter rechnen kann. Ich kanns auch wieder auseinanderziehen, aber wie bringt mich das weiter?
ZV sind zentriert wenn der Erwartungswert 0 ist?

25.03.2011, 12:41

Merlinius

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Zitat:

Original von Anne_MS
Hab jetzt die c) mal mit Tscheby versucht:
$\begin{eqnarray*} P\left(| \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n Y_i -m|\geq \epsilon \right) \leq \frac{V(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n Y_i ) }{\epsilon^2} = \frac{\frac{1}{n^2}V(\sum\limits_{i=1}^n Y_i ) }{\epsilon^2} = \frac{\frac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^nV( Y_i ) }{\epsilon^2} = \frac{\frac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^n 4s^2 }{\epsilon^2} = \frac{\frac{1}{n^2} n*4s^2 }{\epsilon^2} =\frac{\frac{1}{n} 4s^2 }{\epsilon^2} \end{eqnarray*}$ und das geht für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ gegen 0.

Ergo, sollte man besser immer mit Tscheby rechnen, weil die Voraussetzungen dafür schwächer sind?

In dem Schritt, wo Du Varianz(Summe...) = Summe(Einzelvarianzen) nimmst, solltest Du definitiv eine Begründung hinschreiben. Denn die Gleichheit gilt hier nur, weil Du vorher festgestellt hast, dass die Kovarianzen alle 0 sind.

25.03.2011, 12:53

Merlinius

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Zitat:

Original von Anne_MS
Oh man, bin schon nicht mehr ganz anwesend Augenzwinkern

Du hast da vergessen, die 2 zu quadrieren.

$\begin{eqnarray*} E(4X_n^2X_{n+1}^2) = 4\cdot E(X_n^2) \cdot E(X_{n+1}^2) \end{eqnarray*}$ (<- warum kann man es so auseinander ziehen? Das sollte man begründen.)

Nun weißt Du, dass $\begin{eqnarray*} s^2 = V(X_n) = E[X_n^2] - E^2[X_n] = E[X_n^2]-0=E[X_n^2] \end{eqnarray*}$

Ich hab leider keine Zeit, den MC Teil komplett durchzugehen. Wenn Du eine einzelne Frage hast, gerne. Ansonsten kann sich auch gerne jemand anderes einklinken.

25.03.2011, 16:31

Anne_MS

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$\begin{eqnarray*} E(4X_n^2X_{n+1}^2) = 4\cdot E(X_n^2) \cdot E(X_{n+1}^2) \end{eqnarray*}$ (<- warum kann man es so auseinander ziehen? Weil $\begin{eqnarray*} X_i, X_{n+1} \end{eqnarray*}$ unabhängig sind. wie rechne ich da weiter, dass ich auf die $\begin{eqnarray*} s^4 \end{eqnarray*}$ komme?

Wann kann ich denn die Varianz auseinander ziehen?

Und stimmt dieses? ZV sind zentriert wenn der Erwartungswert 0 ist

25.03.2011, 17:14

Merlinius

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Zitat:

Original von Anne_MS
$\begin{eqnarray*} E(4X_n^2X_{n+1}^2) = 4\cdot E(X_n^2) \cdot E(X_{n+1}^2) \end{eqnarray*}$ (<- warum kann man es so auseinander ziehen? Weil $\begin{eqnarray*} X_i, X_{n+1} \end{eqnarray*}$ unabhängig sind. wie rechne ich da weiter, dass ich auf die $\begin{eqnarray*} s^4 \end{eqnarray*}$ komme?

Wann kann ich denn die Varianz auseinander ziehen?

Und stimmt dieses? ZV sind zentriert wenn der Erwartungswert 0 ist

Also die Begründung ist: Weil die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ unabhängig sind, sind es auch die $\begin{eqnarray*} X_i^2 \end{eqnarray*}$

Wie Du die Werte für $\begin{eqnarray*} E(X_n^2) \end{eqnarray*}$ bestimmst, habe ich einen Beitrag über Dir beschrieben.

Das mit der Zentrierung sagt einfach nur aus, was sich oben in der Rechnung zeigt. Wenn zwei Zufallsvariablen unabhängig sind und den Erwartungswert 0 haben, ergibt sich aus dem Varianzzerlegungssatz:

$\begin{eqnarray*} V(XY) = E(X²Y²)-E²(XY) = E(X²Y²) - (E(X)E(Y))² = E(X²Y²) - 0² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = E(X²)E(Y²) = [E(X²)-E²(X)]·[E(Y²)-E²(Y)] = V(X)V(Y) \end{eqnarray*}$

25.03.2011, 18:50

Anne_MS

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Danke!

Zum MC-Teil:
A7) Man soll sagen, ob die Funktion eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist, also ob $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty} ^\infty \! f(x) \ dx =1 \end{eqnarray*}$ ist.
Nehm ich als Bsp. mal $\begin{eqnarray*} f_3(x)= \frac{1}{2} \frac{1}{x} 1_{[1,\infty)} \end{eqnarray*}$ ,
dann ergibt sich doch: $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty} ^\infty \! \frac{1}{2} \frac{1}{x} 1_{[1,\infty)} \, dx = \int_{1} ^\infty \! \frac{1}{2} \frac{1}{x} \, dx = \frac{1}{2} log(x) |_1^\infty = \frac{1}{2} (log \infty - log 1) = \frac{1}{2} (e - 0) = \frac{1}{2} e \neq 1 \end{eqnarray*}$
also keine Wdichte.

A8) Gleiches Spielchen mit der Verteilungsfunktion. Hier sind zu prüfen:
1. F ist monoton steigend.
2. F ist rechtsseitig stetig.
3. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} F(x) = 1 \end{eqnarray*}$ .

Bsp: $\begin{eqnarray*} F_3(x)=\frac{1}{4}*1_{(x_1,\infty )}+\frac{3}{4}*1_{(x_2,\infty )}(x), x_1,x_2 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
monoton steigend ist erfüllt, 3. auch, aber 1. meiner Meinung nach nicht, da ich Sprungstellen habe.

Stimmt das soweit? Ist meine Herangehensweite richtig?

25.03.2011, 19:04

Merlinius

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Zitat:

Original von Anne_MS
Danke!

Zum MC-Teil:
A7) Man soll sagen, ob die Funktion eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist, also ob $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty} ^\infty \! f(x) \ dx =1 \end{eqnarray*}$ ist.

Das ist eine Eigenschaft, aber eine Funktion muss dazu noch nichtnegativ sein, damit sie eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist. Ggf. scheitert es schon daran.

Zitat:

Nehm ich als Bsp. mal $\begin{eqnarray*} f_3(x)= \frac{1}{2} \frac{1}{x} 1_{[1,\infty)} \end{eqnarray*}$ ,
dann ergibt sich doch: $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty} ^\infty \! \frac{1}{2} \frac{1}{x} 1_{[1,\infty)} \, dx = \int_{1} ^\infty \! \frac{1}{2} \frac{1}{x} \, dx = \frac{1}{2} log(x) |_1^\infty = \frac{1}{2} (log \infty - log 1) = \frac{1}{2} (e - 0) = \frac{1}{2} e \neq 1 \end{eqnarray*}$
also keine Wdichte.

Die Funktion ist zwar keine Dichtefunktion, aber Du hast falsch gerechnet. Log geht nicht gegen e, sondern gegen oo. Aus Ana I ist bekannt, dass die harmonische Reihe gegen +oo geht, analog geht die Fläche unter dem Graphen 1/x für x > 1 gegen +oo, also sieht man direkt, dass es keine Dichte sein kann. Aber man kann es natürlich auch so rechnen wie Du es tust, nur der Grenzwert war falsch.

Zitat:

A8) Gleiches Spielchen mit der Verteilungsfunktion. Hier sind zu prüfen:
1. F ist monoton steigend.
2. F ist rechtsseitig stetig.
3. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} F(x) = 1 \end{eqnarray*}$ .

Bsp: $\begin{eqnarray*} F_3(x)=\frac{1}{4}*1_{(x_1,\infty )}+\frac{3}{4}*1_{(x_2,\infty )}(x), x_1,x_2 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
monoton steigend ist erfüllt, 3. auch, aber 1. meiner Meinung nach nicht, da ich Sprungstellen habe.

Stimmt das soweit? Ist meine Herangehensweite richtig?

Ich denke, dies stimmt so. F ist nicht rechtsseitig stetig.

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