Kern einer lin. Abbildung

24.03.2011, 14:52	ZooBooJoo	Auf diesen Beitrag antworten »
Kern einer lin. Abbildung Hallo. Möchte den Kern der folgenden Matrix berechnen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das ganze mache ich nicht per Gauß-Jordan verfahren sondern per unterer Dreiecksmatrix und dann rückwärts einsetzen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1.5 & 1 & 0.5 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0.5 & 1 & -1.5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 8 & -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wir sehen dass $\begin{eqnarray} x_4 \end{eqnarray}$ keine Stufe hat und somit $\begin{eqnarray} x_4 = \lambda \end{eqnarray}$ . Unten mehr zu meinen Überlegungen. Dann kommen wir auf 4 Gleichungen: $\begin{eqnarray} I) -2x_1 + x_2 + \lambda = 0 \\ II) -3x_2 + 2x_3 + \lambda = 0 \\ III) -4x_3 + 4\lambda = 0 \\ IV) 0 \cdot \lambda = 0 \\ \end{eqnarray}$ Zu IV) Was machen wir hier? In der Lösung ist $\begin{eqnarray} x_4 = 1 \end{eqnarray}$ Zu III) $\begin{eqnarray} x_3 = \lambda \end{eqnarray}$ Zu II) $\begin{eqnarray} x_2 = \lambda \end{eqnarray}$ Zu I) $\begin{eqnarray} x_1 = \lambda \end{eqnarray}$ Also haben wir heraus: $\begin{eqnarray} Kern(f) = span\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ ? \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ Eigentlich gilt die Gleichung $\begin{eqnarray} IV) 0\lambda = 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ . Somit ist $\begin{eqnarray} x_4 = \lambda \end{eqnarray}$ und damit im Lösungsvektor 1 Somit hätten wir die Lösung $\begin{eqnarray} Kern(f) = span\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ , welche sich mit der Musterlösung deckt. Ist mein Ansatz da richtig?
24.03.2011, 15:17	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Offensichtlich ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ damit ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Element des Kerns ( und damit auch jedes Vielfache). Wo ist denn euer Problem?
24.03.2011, 15:31	ZooBooJoo	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Problem liegt darin, dass in der 4. Gleichung man für $\begin{eqnarray} x_4 \end{eqnarray}$ ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ einsetzen könnte wobei dann $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ a \end{pmatrix} \| a \in \mathbb R \end{eqnarray}$ herauskommt, also (nur die 4. Gleichung): $\begin{eqnarray} 0 \cdot x_4 = 0 \Rightarrow x_4 \in \mathbb R \end{eqnarray}$ Wir wählen hier in der Lösung aber 1. Warum?
24.03.2011, 15:36	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es falsch. Die Gleichungen I, II, III hängen doch auch vom Parameter a ab. Wenn ich also den Parameter a auf einen Wert setze, hat das Auswirkungen auf die 3 anderen Gleichungen. Ansonsten ist es völlig willkürlich. Man könnte auch $\begin{eqnarray} x_4 = 34326743286472648 \end{eqnarray}$ wählen, man muss nur sorge tragen, dass man dies dann korrekt in den 3 weiteren Gleichungen umsetzt. Allerdings ist die 1 halt eine schöne Zahl.
24.03.2011, 15:55	ZooBooJoo	Auf diesen Beitrag antworten »
Merci de tout cœur

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »