Verkettung linearer Funktionen

24.03.2011, 15:23

ZooBooJoo

Verkettung linearer Funktionen

Hallo.

Ich hab hier eine Aufgabe und ich weiss beim besten Willen nicht wie ich sie angehen soll:
$\begin{eqnarray*} f(e_1) = \begin{pmatrix} 1 \\ 10 \end{pmatrix}, \ f(e_2) = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \ g(e_1) = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}, \ g(e_2) = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Berechnen sie $\begin{eqnarray*} g \circ f(e_1), \ g \circ f(e_2), \ f \circ g(e_1), \ f \circ g(e_2) \end{eqnarray*}$

Einsetzen kann ich smile

Soweit klar, also
$\begin{eqnarray*} g \circ f(e_1) = g\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \end{pmatrix} = ??? \end{eqnarray*}$

Wie gehts weiter?

24.03.2011, 15:25

Mazze

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Es fehlen ein Paar angaben. Ich denke mal f und g sollen lineare Funktionen sein? Zerlege

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$

in eine Linearkombination von $\begin{eqnarray*} e_1,e_2 \end{eqnarray*}$ und nutze die Linearität von g.

p.s.: Bei deiner Definition von g ist dir wohl ein Tipfehler unterlaufen.

24.03.2011, 15:49

ZooBooJoo

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Zitat:

Original von Mazze
Es fehlen ein Paar angaben. Ich denke mal f und g sollen lineare Funktionen sein?

Genau!

Also ich hab jetzt: $\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} 1 \\ 10 \end{pmatrix} = \lambda\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \varphi\begin{pmatrix} 0 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

24.03.2011, 15:58

Mazze

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Das ist nicht so ganz das was ich meinte. Ich sagte ja, du sollst ( 1 10 ) als Linearkombination von e_1 und e_2 schreiben. Sprich Du sollst zwei Koeffizienten

$\begin{eqnarray*} \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

finden, so dass

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 10 \end{pmatrix} = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 \end{eqnarray*}$

ist.

24.03.2011, 16:01

ZooBooJoo

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 10 \end{pmatrix} = \lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_2\begin{pmatrix} 0 \\ 10 \end{pmatrix} \Rightarrow \lambda_1 = 3, \ \lambda_2 = -1 \end{eqnarray*}$

24.03.2011, 16:07

Mazze

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Das ergibt keinen Sinn :

$\begin{eqnarray*} 3*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} - 1 \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -10 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 1 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

24.03.2011, 16:21

ZooBooJoo

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Oops, da hab ich mich in der Zeile vertan.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 10 \end{pmatrix} = \lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda_2\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \lambda_1 = 3, \ \lambda_2 = -1 \end{eqnarray*}$

24.03.2011, 16:22

Mazze

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Das ist zwar richtig, aber Hilft dir nicht viel. Du sollst den Vektor (1 10) als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} e_1,e_2 \end{eqnarray*}$ darstellen, nicht als Linearkombination von (1 4) und (2 2)

24.03.2011, 16:27

ZooBooJoo

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$\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_2 \end{eqnarray*}$ hab ich doch garnicht gegeben?

24.03.2011, 16:31

Mazze

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$\begin{eqnarray*} e_1,e_2 \end{eqnarray*}$ habt ihr sicher in der Vorlesung definiert. Mit $\begin{eqnarray*} e_i \end{eqnarray*}$ bezeichnet man im Allgemeinen den i-ten kanonischen Einheitsvektor. Sprich, haben wir

$\begin{eqnarray*} e_i \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1 \leq i \leq n \end{eqnarray*}$

dann ist $\begin{eqnarray*} e_i \end{eqnarray*}$ der Vektor der überall nullen hat bis auf die Stelle i, wo er 1 ist. SPrich,

$\begin{eqnarray*} e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

24.03.2011, 16:39

ZooBooJoo

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Dann ist ja trivialerweise $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2 = 10 \end{eqnarray*}$ smile

D.h. wir haben jetzt dastehen:
$\begin{eqnarray*} g \circ f(e_1) = g\begin{pmatrix} 1 \\ 10 \end{pmatrix} = g(e_1 + 10e_2) = g(e_1) + 10\cdot g(e_2) = \begin{pmatrix} 21 \\ 24 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist ja jetzt easy. Danke, super Erklärung!

24.03.2011, 16:45

Mazze

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Zitat:

Dann ist ja trivialerweise $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2 = 10 \end{eqnarray*}$ smile

Das ist einer der Gründe warum man so gerne die kanonische Einheitsbasis nimmt. Man kann etwa die Koeffizienten der Linearkombination direkt angeben. Gibt auch andere schöne Eigenschaften, aber das kommt alles später.

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