inhomogener Fall DGL

03.12.2006, 10:29

curlyjue

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inhomogener Fall DGL

Hallo!

...habe ein Problem mit inhomogenen Fall bei folgender DGL:

$\begin{eqnarray*} y''' - y = te^{t} \end{eqnarray*}$

also erst mal der homogene Fall:

Ansatz:
$\begin{eqnarray*} Yh(t) = e^{\lambda*t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p(\lambda) = \lambda^{3} -1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \lambda = 1 \end{eqnarray*}$ (ist dreifache Nullstelle)

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} Yh(t) = c1*e^{t} \end{eqnarray*}$

und nun der inhomogene Fall:

$\begin{eqnarray*} y''' - y = t*e^{t} \end{eqnarray*}$

es ist ja m = 1 und folglich (weil 1 = $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = dreifache Nullstelle ) ist q = 3

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Ansatz:
$\begin{eqnarray*} Yp(t) = Rk(t) * e^{t} * t^{3} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Rk(t) = a1*t + a0 \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} Yp(t) = (a1*t + a0)e^{t}*t^{3} = (a1*t^{4} + a0*t^{3})e^{t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = ... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'' = ... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y''' = ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ durch Einsetzen in Ansatz:

$\begin{eqnarray*} a1(12t^{3}+36t^{2}+24t) + a0(3t^{3}+15t^{2}+12t+6) = t \end{eqnarray*}$

eigentlich müsste als Lösung ja nun ein Polynom der Form $\begin{eqnarray*} Rk(t) = a1*t + a0 \end{eqnarray*}$ rauskommen bzw. bräuchte ich eine Lösung für a1 und a0

aber wie soll das gehen??? Steh grad irgendwie auf der Leitung...wär also toll wenn mir jemand weiter helfen könnte!!!

03.12.2006, 10:59

kiste

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Hi,

du studierst nicht zufällig auch in Stuttgart? *g*
Hab die gleiche Aufgabe.

Meiner Meinung nach ist das $\begin{eqnarray*} Rk(t) = t \end{eqnarray*}$ so dass du auf folgenden Ansatz kommst:
$\begin{eqnarray*} Yp(t) = t^4e^t \end{eqnarray*}$

03.12.2006, 11:20

curlyjue

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ja stg erstes mathe-semester smile

smile

unser Ansatz stimmt aber glaub ich schon so:
$\begin{eqnarray*} Yp(t) = (a1*t + a0)e^{t}*t^{3} \end{eqnarray*}$
Der Düll hat ja nach der vortragsübung noch ne stunde weiter gemacht und da hat er so ein bsp gebracht,aber halt leider nur den ansatz. also man muss immer das allgemeine polynom hinschreiben. also z.B. für $\begin{eqnarray*} t^{2} \end{eqnarray*}$ dann: $\begin{eqnarray*} at^{2}+bt^+c \end{eqnarray*}$

03.12.2006, 11:35

kiste

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Joar hab grad die Unterlagen durchgeschaut dein Ansatz sieht richtig aus.
Vielleicht muss bei Polynomen ersten Grades ein Freiheitsgrad rauskommen(Wir hatten in der Vorlesung ja nur ein Beispiel mit Grad 0)
Wenn du willst können wir über ICQ darüber diskutieren. Ich hab dir meine Nummer über PN geschickt

03.12.2006, 11:48

curlyjue

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habe leider kein icq. Bist du denn am fr nach ana noch dageblieben.Der düll hat ja bis 14uhr gemacht und foldendes bsp gebracht:
rechte Seite des dgl war : $\begin{eqnarray*} 3t^{2}e^{-2t} \end{eqnarray*}$
der ansatz der daraus folgte war: $\begin{eqnarray*} (at^{2}+bt+c)te^{-2t} \end{eqnarray*}$

03.12.2006, 11:54

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RE: inhomogener Fall DGL

Zitat:

Original von curlyjue
$\begin{eqnarray*} p(\lambda) = \lambda^{3} -1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \lambda = 1 \end{eqnarray*}$ (ist dreifache Nullstelle)

Das ist falsch: $\begin{eqnarray*} \lambda = 1 \end{eqnarray*}$ ist nur einfache Nullstelle! Die anderen beiden sind $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \pm i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ .

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03.12.2006, 12:05

curlyjue

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wie kommst du dadrauf? die dritte wurzel aus eins ist doch eins. uns da 1 bei der ersten und zweiten ableitung auch noch nullstelle ist,ist es doch eine dreifache nullstelle. Woher bekommst du koplexe nullst?

03.12.2006, 12:07

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$\begin{eqnarray*} p(\lambda)=\lambda^3-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p'(\lambda)=3\lambda^2 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} p'(1)=3\neq 0 \end{eqnarray*}$

Muss ich noch mehr sagen? Ok: Du verwechselst $\begin{eqnarray*} p(\lambda)=\lambda^3-1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p(\lambda)=(\lambda-1)^3 \end{eqnarray*}$ .

03.12.2006, 12:12

kiste

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Joar jetzt habe ich es auch so,
man muss es als $\begin{eqnarray*} \lambda^3 = 1 + 0i \end{eqnarray*}$ sehen und dann die Formel zum Wurzelziehen von komplexen Zahlen nehmen

03.12.2006, 12:13

curlyjue

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ok,super,vielen dank. aber woher kommen die koplexen nullst?

03.12.2006, 12:15

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Das sind die drei komplexen dritten Wurzeln der 1, was sonst. Vielleicht verstehst du es mit der Linearfaktorzerlegung:

$\begin{eqnarray*} 0 = \lambda^3-1 = (\lambda-1)(\lambda^2+\lambda+1) \end{eqnarray*}$

03.12.2006, 12:15

curlyjue

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warum soll ich es als koplexe zahl sehen?hab doch einfach n relles einfaches ergebnis dann.?

03.12.2006, 12:16

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Besonders viele solche Dgl hast du aber noch nicht gelöst, oder? Sonst müsstest du wissen, dass du die komplexen Lösungen nicht einfach ignorieren darfst - auch bei reellen Dgl nicht!!!

03.12.2006, 12:23

kiste

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Noch eine Frage jetzt zur inhomogenen Lösung:
Ich habe den neuen Ansatz $\begin{eqnarray*} (a1t + a0)e^t\cdot t \end{eqnarray*}$ benutzt, abgeleitet und dann in die DGL eingesetzt.
Am Ende komme ich auf ein Ergebnis der Art:
$\begin{eqnarray*} 6a1(t + 1) + 3a0 = t \end{eqnarray*}$
Wie kann man das weiter umformen? Ich habe ja hier zuviele Variablen um a1 und a0 zu bestimmen. Heißt das ich habe eine Lösung mit einer frei wählbaren Variable in dem ich a1 als a0 ausdrücke? Dann wäre aber bei t=-1 eine nicht definierte Stelle?

03.12.2006, 12:24

curlyjue

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ja wir stehen erst am anfang. kannst du uns erklären weshalb?
Bei uns im skript steht davon nämlich gar nichts.

03.12.2006, 12:29

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Zitat:

Original von kiste
$\begin{eqnarray*} 6a1(t + 1) + 3a0 = t \end{eqnarray*}$
Wie kann man das weiter umformen? Ich habe ja hier zuviele Variablen um a1 und a0 zu bestimmen. Heißt das ich habe eine Lösung mit einer frei wählbaren Variable in dem ich a1 als a0 ausdrücke?

Nix mit frei wählen - das muss für alle $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ gelten. Und das klappt mit Koeffizientenvergleich:

bzgl. $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ heißt das $\begin{eqnarray*} 6a_1 = 1 \end{eqnarray*}$
bzgl. $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ heißt das $\begin{eqnarray*} 6a_1+3a_0 = 0 \end{eqnarray*}$

03.12.2006, 12:32

kiste

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ah danke das hat mir gefehlt smile

smile

@curlyjue:
Wenn du willst können wir bis Freitag mal zusammenlernen? Falls du interessiert bist schreib mir ne Mail

03.12.2006, 12:35

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Zitat:

Original von curlyjue
Bei uns im skript steht davon nämlich gar nichts.

Schwer zu glauben. Das mindeste ist doch, das dort als Beispiel die Schwingungsdifferentialgleichung

$\begin{eqnarray*} y'' + \omega^2 y = 0 \end{eqnarray*}$

(hier in der homogenen Form) abgehandelt wird, wo auch komplexe $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ auftauchen.

03.12.2006, 12:43

curlyjue

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koplexe lammdas haben wir schon auch öfters rausbekommen,aber halt eben wenn z.b die wurzel der mitternachtsformal negativ war.

03.12.2006, 12:45

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Und was denkst du, was hier

$\begin{eqnarray*} 0 = \lambda^3-1 = (\lambda-1)(\lambda^2+\lambda+1) \end{eqnarray*}$

mit dem rechten Faktor ist?

03.12.2006, 12:52

curlyjue

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mann mann mann, jetzt ist uns gerade ein licht aufgegangen smile

smile

so macht das natürlich schon sinn!!! Das kommt ja daher dass wir eigentlich wissen müssten, das jedes polynom n-ten graden n nullstellen hat oder?!? das haben wir wohl bissl vergessen...ups Lehrer

Lehrer

03.12.2006, 12:59

curlyjue

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also erst mal danke an euch alle!!! das hat uns jetzt ne menge im kreis-denkerei erspart!

@kiste: vielleicht sollten wir an uns an dieser stelle mal vorstellen. also (curlyjue) setzt sich nämlich zusammen aus Nadine (Mathe Diplom) und Julia (Mathe Sport Lehramt) und scheinbar wie du im ersten semester!

Jetzt du!

03.12.2006, 13:10

kiste

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Zitat:

Original von curlyjue
Jetzt du!

Ich bin der Tobias, Informatik Diplom Nebenfach Mathe auch erstes Semester Wink

Wink

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