f(x) = g(x)

24.03.2011, 17:05

NewTi

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f(x) = g(x)

Man soll die Schnittpunkte von f(x) und g(x) berechnen! Dazu weiß ich, dass ich diese beiden gleichsetzen muss. Gesagt, getan:

$\begin{eqnarray*} 4*x*e^{-0,5*x^2} = 4*x*e^{-0,5} \end{eqnarray*}$

Aber wie komme ich nun an das x?! Mit dem ln?

Danke!

Gruß

24.03.2011, 17:08

Mulder

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RE: f(x) = g(x)
Erstmal subtrahieren (so dass auf einer Seite nur noch 0 steht) , dann ausklammern, dann Satz von Nullprodukt.

Edit: Welch ein Ansturm. Big Laugh

Big Laugh

24.03.2011, 17:08

Iorek

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Ich würde dir empfehlen alles auf eine Seite zu bringen und dann auszuklammern. smile

smile

Edit: Da war einer schneller. Wink

Wink

24.03.2011, 17:08

Cel

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Jawohl. Zuvor müsstest du aber durch 4x dividieren. Das darfst du aber nur - wann machen?

Übrigens, ich schiebe den Thread mal in die Analysis.

24.03.2011, 17:12

NewTi

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Also ... wie bringe ich alles rüber, eigentlich ja geteilt, oder?

By the way: ich habe es mal versucht durch 4x zu teilen. dann mit dem ln gearbeitet und dann komme ich auf x = 1 und -1. Die dritte ist 0, aber wie komme ich nun an die?!
Ist dieser Weg auch korrekt?

Gruß

24.03.2011, 17:22

NewTi

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die Aufgabe (c) ist hier zu sehen: projekte.gymnasium-odenthal.de/informatik/dateien/Mathematik/Jgstf12%20und%2013/000%20Klausuren/Jgstf13/2009-2010%20Exponentialfunktionen.pdf

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24.03.2011, 17:47

NewTi

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also mein Lösungsweg ist folgender:

$\begin{eqnarray*} 4x*e^{-0,5x^2} = 4x*e^{-0,5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-0,5x^2} = e^{-0,5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -0,5x^2 * ln(e) = ln(-0,5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -0,5x^2 = -0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 1, -1 \end{eqnarray*}$

24.03.2011, 17:51

Cel

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Die beiden anderen Helfer sind off, deswegen sag ich dir noch etwas: Deine beiden Ergebnisse sind richtig, wenn du es so machen möchtest.

Du hast angenommen, dass x ungleich 0 ist. Sonst würdest du durch 0 teilen. Der zweite Fall ist x = 0. Ist dann die Gleichung auch erfüllt? Dann wäre x = 0 auch eine Lösung.

Alternativ könntest du auch das Nullprodukt anschauen, das wäre Mulders Weg.

24.03.2011, 17:56

NewTi

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Aber x ist ja gleich 0. Also gibt es auch einen Lösungsweg, mit dem man -1, 0 und 1 direkt erhält?

Danke.

24.03.2011, 18:07

NewTi

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und bei der Aufgabe 4 bräuchte ich dann f(x) - g(x). Deshalb wie macht man das?!

$\begin{eqnarray*} 4x*e^{-0,5x^2} - (4x*e^{-0,5}) \end{eqnarray*}$ ?

Danke.

24.03.2011, 18:13

Mulder

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Wurde doch ebenfalls oben schon gesagt: 4x ausklammern:

$\begin{eqnarray*} 4x \cdot e^{- \frac 1 2 x^2} -4x \cdot e^{- \frac 1 2} =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \, 4x \cdot \left ( e^{- \frac 1 2 x^2} - e^{- \frac 1 2} \right )=0 \end{eqnarray*}$

Und ein Produkt wird genau dann null, wenn ... ?

24.03.2011, 18:16

NewTi

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dann noch vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} 4x (e^{-0,5x^2}-e^{-0,5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ v $\begin{eqnarray*} x = e^{-0,5x^2}-e^{-0,5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = e^{-0,5x^2}-e^{-0,5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-0,5x^2} = e^{-0,5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -0,5x^2*ln(e) = ln(e^{-0,5}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x= 1 \end{eqnarray*}$ v $\begin{eqnarray*} x = -1 \end{eqnarray*}$

So sollte es in einem Schritt richtig sein.

24.03.2011, 18:18

NewTi

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Ok, ich habe geschrieben, während du die Vereinfachung gepostet hast. Ich sollte mir angewöhnen, einen Post zu posten und nicht viele kleine zerklüftete.

So, danke!

Jetzt habe ich es ja .-...

Gruß

24.03.2011, 18:42

NewTi

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Jetzt gibt es aber wieder ein anderes Problem bei der Berechnung der Fläche, die von f(x) und g(x) eingeschlossen wird. Wir können ein Produkt noch nicht integrieren. Geht die auch anders? F(x) steht schon auf dem Blatt, aber G(x) nicht?!

Danke schon einmal.

24.03.2011, 18:53

Mulder

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RE: f(x) = g(x)
g(x) ist eine Gerade, die solltest du integrieren können. Das kann nun wirklich kein Problem sein. Und F(x) ist ja schon gegeben.

24.03.2011, 19:05

NewTi

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Stimmt, peinlich von mir smile

smile

also ist G(x) = $\begin{eqnarray*} 2x^2*e^{-0,5} \end{eqnarray*}$ ?

24.03.2011, 19:14

NewTi

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Beträgt der Inhalt der Fläche also 1,9347?

Das wäre alles.

25.03.2011, 14:42

NewTi

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Da keiner antwortet, denke ich, dass ich den Rechenweg mal posten sollte:

$\begin{eqnarray*} A = 2 * \int\limits_{0}^1 ((f(x) - g(x))dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = 2 * \int\limits_{0}^1 ((4x*e^{-0,5x^2} - 4x*e^{-0,5})dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = 2 * (\left. {F(x)} - {G(x)}) \right|_{0}^1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = 2 * (\left. {-4e^{-0,5x^2}} - {2x^2*e^{-0,5}}) \right|_{0}^1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = 2 * 0,967 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = 1,9347 \end{eqnarray*}$

Stimmt dies so? Ist G(x) korrekt?

Danke!

Gruß
NewTi

25.03.2011, 15:12

Mulder

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Also, ich komme auf etwas anderes. Das hier ist die Fläche von 0 bis 1:

Die kann doch nie und nimmer über 0.9 FE groß sein. Es müssen weniger als 0.5 FE sein.

Weil du da jetzt mit Rundungswerten gearbeitet hast, kann ich dir nicht sagen, was du falsch eingesetzt, bzw ausgerechnet hast. Das korrekte Ergebnis (das man ruhig immer auch dazu schreiben sollte) lautet bei mir

$\begin{eqnarray*} A = 4 - \frac{6}{\sqrt{e}} \approx 0.36 \end{eqnarray*}$

Das Ganze dann noch mal 2, um auch das Flächenstück von -1 bis 0 mitzunehmen.

25.03.2011, 19:32

NewTi

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Dein Graph scheint falsch zu sein, denn der Hochpunkt hat die Koordinaten x= 1 und y = 2,426.

Ist mein G(x) überhaupt richtig?!

Danke.

25.03.2011, 19:52

NewTi

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Gut, habe noch einmal eingesetzt und jetzt komme ich auf 0,36081604 und das dann noch *2.

Also ... danke!

25.03.2011, 19:54

Mulder

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Zitat:

Original von NewTi
Dein Graph scheint falsch zu sein

Nicht so voreilig aburteilen. Mein Graph ist bereits die Differenzfunktion, über die du integrierst, also f(x)-g(x).

Zitat:

Original von NewTi
Ist mein G(x) überhaupt richtig?!

Leite es doch wieder ab, dann siehst du, dass das stimmt. Wenn nicht, hätte ich dazu wohl was gesagt.

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