Wahrscheinlichkeit, dass sich 2, 3,...,n Leute treffen

24.03.2011, 17:48

Bernadette

Wahrscheinlichkeit, dass sich 2, 3,...,n Leute treffen

Hallo,

2 Leute vereinbaren, sich zwischen 0 und 1 Uhr an einem bestimmten Ort zu treffen. Die Ankunftszeiten seinen Gleichverteilt in [0, 1]. Nach Ankunft einer Person, wird diese 15 Minuten auf die andere Person warten. Sollte die andere Person nicht in diesen 15 min erscheinen wird das Treffen abgesagt. Wie gross ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass das Treffen wirklich stattfindet? Was ist wenn 3 oder n Leute sich treffen wollen?

Meine Idee dazu ist folgende. Die Bedingung dafur, dass das Treffen stattfindet ist

|X-Y| < 0.25

Dies kann man sehr schon in einem x-y Koordinaten System darstellen. Damit findet man zwei Geraden, die den Bereich einschliessen in dem das Treffen stattfindet. Die Flache im Einheitsquadrat ist ja gleich 1. Daher kann ich einfach die Flachen (zwei gleichschenklige, rechtwinklige Dreieke mit Seitenlange 3/4) subtrahieren die "ausserhalb" der Randbedingungen liegen. Das fuhrt zu 1 - 2*1/2*(3/4)^2 = 7/16.

Bei drei Personen waeren die Bedingungen, dass das Treffen stattfindet ja

|X-Y| < 0.25 und |X-Z| < 0.25 und |Y-Z| < 0.25

Das kann man nun muhsam in einem Einheitswurfel darstellen und findet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass alle diese Bedingungen gleichzeitig erfullt sind gleich 1-3*1/3*(3/4)^3 = 37/64 ist. (Ich subtrahiere das Volumen von 3 Schiefen Pyramiden vom Volumen des Einheitswurfel.)
Das kann aber irgendwie nicht sein, weil diese Wsk ja hoher ist als im Fall von zwei Leuten. Wie kann es sein, dass bei einer zusatzlichen Nebenbedingung die Wsk steigt?

Auf der anderen Seite ware das aber ein nettes Ergebnis was dann bei n Leuten zu 1-(3/4)^n verallgemeinert werden konnte.

24.03.2011, 19:05

HAL 9000

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Das richtige Ergebnis für die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen der Ankunft der ersten und letzten Person $\begin{eqnarray*} \leq t \end{eqnarray*}$ Zeit vergeht, ist für $\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq 1 \end{eqnarray*}$ gleich

$\begin{eqnarray*} nt^{n-1} - (n-1)t^n \end{eqnarray*}$ ,

im Falle von wie hier $\begin{eqnarray*} t=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ also

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{4^{n-1}} - \frac{n-1}{4^n} = \frac{3n+1}{4^n} \end{eqnarray*}$ .

Bei Interesse können wir die Rechnung besprechen, die ist bei allgemeinem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ etwas umfänglich. Augenzwinkern

24.03.2011, 22:48

Bernadette

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Danke HAL. Dann war meine Losung ja wenigstens fur den Fall n = 2. Wo ist der Fehler bei n = 3?

24.03.2011, 23:07

HAL 9000

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Es ist wohl einfach so, dass dir dein räumliches Vorstellungsvermögen hier

Zitat:

Original von Bernadette
Ich subtrahiere das Volumen von 3 Schiefen Pyramiden vom Volumen des Einheitswurfel.

einen Streich gespielt hat.

24.03.2011, 23:16

Bernadette

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Das wirds wohl sein, war auch ziemlich anstrengen das zu zeichnen. Kannst du mal kurz anreissen, wie deine Formel zu Stande kommt?

24.03.2011, 23:21

HAL 9000

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Es liegen hier $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ unabhängige, identisch $\begin{eqnarray*} U[0,1] \end{eqnarray*}$ -verteilte Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X_1,\ldots,X_n \end{eqnarray*}$ vor. Bezeichnet man nun

$\begin{eqnarray*} Y_n := \min\{X_1,\ldots,X_n\}, \qquad Z_n := \max\{X_1,\ldots,X_n\} \end{eqnarray*}$ ,

dann besteht die vorliegende Aufgabe in der Berechnung von $\begin{eqnarray*} p_n(t) := P(Z_n-Y_n < t) \end{eqnarray*}$ .

Die Berechnung dieses $\begin{eqnarray*} p_n(t) \end{eqnarray*}$ geschieht dann über die gemeinsame Verteilung von $\begin{eqnarray*} Y_n,Z_n \end{eqnarray*}$ , rein algebraisch - denn mein räumliches Vorstellungsvermögen des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ist auch nicht das beste. Augenzwinkern

24.03.2011, 23:26

Bernadette

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Danke, das war sehr hilfreich.

22.06.2015, 13:53

steffi23

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Hallo,

ich hab eine ähnliches Problem und hab jetzt alles durchgelesen.
Ich versteh nur nicht, wie man von
$\begin{eqnarray*} p_n(t) := P(Z_n-Y_n < t) \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} nt^{n-1} - (n-1)t^n \end{eqnarray*}$

kommt.

Ich hoffe, man kann mir weiter helfen.

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