Geometrische Reihe?

24.03.2011, 18:03

BorussenMax

Geometrische Reihe?

Meine Frage:
Ich habe bei einer Herleitung die folgende Funktion erhalten:

$\begin{eqnarray*} (x^{j-1})*((1+y)^0)+(x^{j-2})*((1+y)^1)+(x^{j-3})*((1+y)^2)+...+(x^0)*((1+y)^{j-1} \end{eqnarray*}$

Ich bin eigentlich BWL Student kein Mathematiker, aber dies wirkt auf mich doch stark, wie irgendeine Form einer mathematischen Reihe? Was ist dies für eine Reihe?

Meine Ideen:
Als Hilfe: Letztendlich sollte herauskommen

$\begin{eqnarray*} ((x^j)*((1+y)^j)-1)/(x*(1+y)-1) \end{eqnarray*}$

Auch das Ergebnis wirkt auf mich, ähnlich wie das einer geometrischen Reihe. Könnt ihr mir helfen?

edit(Abakus): Latex-Klammern
edit2: Exponenten in {...}

24.03.2011, 20:51

Abakus

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RE: Geometrische Reihe?

Zitat:

Original von BorussenMax
$\begin{eqnarray*} (x^{j-1})*((1+y)^0)+(x^{j-2})*((1+y)^1)+(x^{j-3})*((1+y)^2)+...+(x^0)*((1+y)^{j-1} \end{eqnarray*}$

Hallo,

solche Ausdrücke umzuformen ist eine Frage der Algebra.

Hier klammere zB einen geeigneten Faktor aus, was bietet sich an? (etwas salopp gesagt: als Ergebnis solltest du in einem Summand dann einen Exponenten haben)

Und ja, es ist eine geometrische Summe.

Grüße Abakus smile

25.03.2011, 09:26

BorussenMax111

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RE: Geometrische Reihe?
Danke aber könntest du mir etwas genauer erklären wie ich vorzugehen habe bei der Umformung Augenzwinkern

Ich bin BWler. Normale Herlietungen ok aber ne geometrische Reihe habe ich nie bewiesen.

danke im vorraus

25.03.2011, 10:02

Manni Feinbein

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RE: Geometrische Reihe?
Erstmal solltest Du die 'Pünktchen-Schreibweise' loswerden.

Also statt

$\begin{eqnarray*} (x^{j-1})*((1+y)^0)+(x^{j-2})*((1+y)^1)+(x^{j-3})*((1+y)^2)+...+(x^0)*((1+y)^{j-1} \end{eqnarray*}$

betrachte besser

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{j-1}x^{(j-1)-k}(1+y)^k=x^{j-1}\sum_{k=0}^{j-1}\left(\frac{1+y}x\right)^k. \end{eqnarray*}$

25.03.2011, 12:05

BorussenMax111

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RE: Geometrische Reihe?
Ist es denn richtig dass letztendlich folgende GLeichung herauskommt?

$\begin{eqnarray*} ((x^j)*((1+y)^j)-1)/(x*(1+y)-1) \end{eqnarray*}$

das würde mir genügen als antwort.

danke

25.03.2011, 14:13

Manni Feinbein

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RE: Geometrische Reihe?
Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1}q^k=\frac{q^n-1}{q-1}. \end{eqnarray*}$

Also ist

$\begin{eqnarray*} x^{j-1}\sum_{k=0}^{j-1}\left(\frac{1+y}x\right)^k=x^{j-1}\frac{\left(\frac{1+y}x\right)^j-1}{\frac{1+y}x-1}=\frac{(1+y)^j-x^j}{1+y-x}. \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst Du Deine Frage selbst beantworten.

25.03.2011, 23:52

BorussenMax111

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RE: Geometrische Reihe?
das ist mies weil, das sollte das Ergebnis der Herleitung sein. Die Frage ist jetzt wer hat den Fehler gemacht ich oder der Ursprungstext

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Geometrische Reihe?

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