Funktion ermitteln

24.03.2011, 18:35

Cheftheoretiker

Funktion ermitteln

# Die Gerade g geht durch die Punkte P(0/3) und Q(5/8). Der Graph der Funktion f, einer Polynomfunktion 3. Grades, berührt die Gerade g in P und schneidet sie in Q. Außerdem schneidet er die x-Achse in N(-1/0). Ermittle die Gleichungen von g und f.

g habe ich,

$\begin{eqnarray*} g(x)=x+3 \end{eqnarray*}$

bloß an f(x) hänge ich ein wenig.

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=3ax^2+2bx+c \end{eqnarray*}$

ich habe $\begin{eqnarray*} d=3 \end{eqnarray*}$ ermittelt und $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$

ich bin bis dahin gekommen,

$\begin{eqnarray*} 5=125a+25b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -3=-1a+1b \end{eqnarray*}$

leider stimmt das nicht, kann jemand helfen? verwirrt

24.03.2011, 18:47

sulo

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RE: Funktion ermitteln
Wie kommst du darauf, dass es nicht stimmt? Ich habe das gleiche raus. smile

24.03.2011, 19:17

Cheftheoretiker

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RE: Funktion ermitteln
Dann müsste die Funktion ja lauten,

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{8}{15}x^3-\frac{37}{15}x^2+3 \end{eqnarray*}$

verwirrt

In meinen Lösungen steht nämlich

f(x) = x³/3 - 5x²/3 + x + 3

24.03.2011, 19:26

sulo

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RE: Funktion ermitteln
Und ich habe gesehen, dass wir wohl beide den gleichen Lesefehler gemacht haben. Nicht die x-Achse wird in P berührt sondern die Gerade g.
Das heißt, f '(0) ist nicht 0 sondern ist so groß wie die Steigung der Geraden in P.

smile

24.03.2011, 19:48

Cheftheoretiker

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RE: Funktion ermitteln
Ja, jetzt habe ich es raus, danke! Big Laugh

24.03.2011, 19:50

sulo

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RE: Funktion ermitteln
Die Bedingungen mussten wie folgt lauten:

f'(0) = 1
f(0) = 3
f(5) = 8
f(-1) = 0

Dann erhält man die o.g. Funktion. Hier noch der Graph zu beiden Funktionen:

24.03.2011, 20:17

Cheftheoretiker

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RE: Funktion ermitteln
Ich habe noch eine,

Der Graph einer Funktion 3. Grades hat bei x = 4 eine Nullstelle und bei x = 2 einen Wendepunkt. Die Gleichung der Wendetangente lautet: y = 3x - 4.

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=3ax^2+2bx+c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=6ax+2b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=64a+16b+4c+d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=12a+2b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3=12a+4b+c \end{eqnarray*}$

Wie mache ich denn nun weiter, bzw. ist es bis dahin überhaupt richtig? verwirrt

24.03.2011, 20:34

sulo

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RE: Funktion ermitteln
Sieht gut aus soweit. Freude

Die Wendetangente hat noch eine Eigenschaft, die du berücksichtigen kannst. Denke mal an die Steigung von f(x) im WP.

smile

24.03.2011, 20:39

Cheftheoretiker

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RE: Funktion ermitteln

Zitat:

Original von sulo
Sieht gut aus soweit. Freude

Die Wendetangente hat noch eine Eigenschaft, die du berücksichtigen kannst. Denke mal an die Steigung von f(x) im WP.

smile

Die habe ich doch,

$\begin{eqnarray*} 3=12a+4b+c \end{eqnarray*}$

verwirrt

24.03.2011, 20:42

sulo

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RE: Funktion ermitteln
Oh ja, stimmt. Leider hast du nicht die Bedingungen aufgeschrieben sondern gleich die Gleichungen, da habe ich das nicht gesehen.

Du kannst die Gleichung der Wendetangente nutzen, um die y-Koordinate des WP auszurechen. smile

24.03.2011, 20:45

Cheftheoretiker

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RE: Funktion ermitteln
Also dann,

$\begin{eqnarray*} 0=64a+16b+4c+d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=12a+2b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3=12a+4b+c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2=8a+4b+2c+d \end{eqnarray*}$

? verwirrt

24.03.2011, 20:46

sulo

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RE: Funktion ermitteln
Ganz genau. Freude

24.03.2011, 20:51

Cheftheoretiker

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RE: Funktion ermitteln
Okay, ab jetzt ist es nur noch Schema F.

danke sulo Wink