Polardarstellung

24.03.2011, 21:18

gretaa

Polardarstellung

Meine Frage:
Hey!!! Ich habe ein rießen Problem, sitze seit 2 Stunden an folgender Aufgabe:
Bestimmen Sie die Polardarstellung z= $\begin{eqnarray*} re^{i\gamma } \end{eqnarray*}$ mit r größer 0 und unser Gamma, das eigentlich ein Fie ist, soll zwischen 0 und 2 Pie liegen:
z= sin(i)

Meine Ideen:
Sin(i)= 1/2i *[ $\begin{eqnarray*} e^{i*i} - e^{-i*i} \end{eqnarray*}$ ]
= 1/2i * [ $\begin{eqnarray*} e^{-1} - e \end{eqnarray*}$ ]
= 1/2 * [ $\begin{eqnarray*} e - 1/e \end{eqnarray*}$ ] * (-1/i)
Bis hierhin versteh ich die Aufgabe...
Jetzt versteh ich aber nicht mehr wie ich von (-1/i) auf i komm, und der letzte Schritt ist mir noch unklarer:
= 1/2 * [ $\begin{eqnarray*} e - 1/e \end{eqnarray*}$ ] * i
= 1/2 * [ $\begin{eqnarray*} e - 1/e \end{eqnarray*}$ ] * $\begin{eqnarray*} e^{i* (\gamma /2)} \end{eqnarray*}$

Danke!!!

24.03.2011, 21:27

Cordovan

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Hallo!

Der erste Schritt ist einfach einer Erweiterung des Bruches $\begin{eqnarray*} -\frac1i \end{eqnarray*}$ mit der Zahl $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ .

Im zweiten Schritt überlegt man folgendes: der Betrag dieser Zahl ist genau $\begin{eqnarray*} \frac12(e-1/e) \end{eqnarray*}$ . So muss ich also mein r wählen.

Dann muss ich die komplexe Zahl i als $\begin{eqnarray*} e^{i\gamma} \end{eqnarray*}$ schreiben. Dafür muss ich $\begin{eqnarray*} \gamma=\pi/2 \end{eqnarray*}$ setzen. Das $\begin{eqnarray*} \gamma/2 \end{eqnarray*}$ , was bei dir steht, stimmt also nicht.

Cordovan

24.03.2011, 21:50

gretaa

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Danke für die schnelle Antwort!!!
Also die erste Zeile hab ich verstanden,
aber noch ne Frage zur zweiten:
kann ich meine komplexe Zahl i immer als $\begin{eqnarray*} e^{i\gamma} \end{eqnarray*}$ schreiben?
Des wäre ja dann supi einfach xD

24.03.2011, 22:14

lgrizu

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Zitat:

Original von gretaa

kann ich meine komplexe Zahl i immer als $\begin{eqnarray*} e^{i\gamma} \end{eqnarray*}$ schreiben?

Wenn sie den Betrag 1 hat, ja.

Du kannst die komplexen Zahlen als Vektoren in der euklidschen Ebene auffassen, wobei auf der x-Achse der Realteil aufgetragen wird und auf der y-Achse der Imaginärteil.

Nun ist jeder Punkt auf dem Einheitskreis eine komplexe Zahl, alle anderen komplexen Zahlen unterscheiden sich von denen, die auf dem Einheitskreis liegen nur in ihrem Betrag.

24.03.2011, 22:35

Gretaa

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Okay, danke, das klingt logisch...der Betrag von 1 liegt ja schließlich auf dem Einheitskreis...
Wenn mein Betrag kleiner ist als eins, dann liegt die Zahl ja im Kreis und falls mein Betrag größer ist außerhalb...
Ich stand eben vll auf dem Schlauch, weil wenn da 2i stehen wüde, dann kann ich die 2 ja nach vorne ziehen...ohje, bin ich dämlich^^
Vielen vielen Dank

24.03.2011, 23:25

lgrizu

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So in etwa, alle Zahlen mit dem Betrag von 1 (nicht der Betrag selbst) liegen auf dem Einheitskreis, die Zahlen, deren Betrag kleine ist als 1 liegen innerhalb des Kreises, die, deren Betrag größer ist ausserhalb.

Man kann also zu jeder Zahl z=a+bi eine Zahl "konstruieren", die auf dem Einheitskreis liegt mit $\begin{eqnarray*} z=|z| \cdot \frac{z}{|z|}=\sqrt{a^2+b^2} \cdot \frac{a+bi}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{eqnarray*}$ .

Die Zahl $\begin{eqnarray*} \frac{a+bi}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{eqnarray*}$ hat dann den Betrag 1.

25.03.2011, 10:40

Gretaa

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Dankeschön!

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