partielle Integration

24.03.2011, 21:54

Taladan

partielle Integration

Hallo, ich soll mittels partieller Integration folgendes Berechen:

Sei $\begin{eqnarray*} 0<a<b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a.b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! x^2ln(x) \, dx \end{eqnarray*}$ .

Ich hatte auch schon einen lösungsansatz aber dann hab ich der Musterlosung nachgeaschaut, und gesehen, das hier g'(x) = x^2 und f(x) = ln(x) sein soll. Warum? Ich habe es anders herum gemacht (weil laut Script f(x)g'(x) heißen soll). Nu habe ich natürlich ein anderes Ergebnis. Warum wurde das hier so gemacht. Wo ich garde schon dabei bin, wofür soll dx stehen?

Gruß Marco

24.03.2011, 22:06

lgrizu

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RE: partielle Integration
Mach doch mal vor, was du bisher gemacht hast.

Ich würde auch den ln ableiten.

Wie schaut denn eine Stammfunktion des ln aus?

24.03.2011, 22:32

Taladan

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RE: partielle Integration
Also ich habe f=x^2, g(x) = ln(x), g= 1/x und f' 2x fest gelegt.

dadruch ensteht dann

$\begin{eqnarray*} x^2ln(x)|_{a}^{b} -\int_a^b \! x^2\frac{1}{x} \, dx = x^2ln(x)|_{a}^{b} -\int_a^b \! \frac{x^2}{x} \, dx = x^2ln(x)|_{a}^{b} -\int_a^b \! \frac{x}{1} \, dx = x^2ln(x)|_{a}^{b} -\int_a^b \! x \, dx = (x^2ln(x)-x)|_{a}^{b} \end{eqnarray*}$

Und eigendlich müßte ja auch das gleiche raus kommen. Verständnisfrage? Oder darf man im Integral nicht das Kommutitativgesetz anwenden?

Laut Musterlösung soll aber $\begin{eqnarray*} (\frac{x^3}{3}ln(x)-\frac{1}{9}x^3 )|_{a}^{b} \end{eqnarray*}$

24.03.2011, 23:33

lgrizu

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RE: partielle Integration
Du musst eine Funktion ableiten und von der anderen die Stammfunktion bilden.

Es ist:

$\begin{eqnarray*} \int f(x) \cdot g(x) \dx = [F(x) \cdot g(x)]-\int F(x) \cdot g'(x) \dx \end{eqnarray*}$ wobei F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist.

In deinem ersten Schritt hast du aber von keiner der beiden Funktionen eine Stammfunktion gebildet.

25.03.2011, 11:58

Taladan

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RE: partielle Integration
Ok Neuer Versuch. Komem aber immer noch nicht auf das richtige Ergebnis.

Sei $\begin{eqnarray*} f'(x) = x^2, f(x)= \frac{1}{3} x^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) = ln(x) \to f'(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Dann folgt
$\begin{eqnarray*} f(x)g(x)|^b_a-\int_a^b \! f(x)g'(x) \, dx = \frac{1}{3}x^3 ln(x)|^b_a-\int_a^b \! \frac{1}{3}x^3 \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^3}{3} ln(x)|^b_a-\int_a^b \! \frac{x^3}{3} \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^3}{3} ln(x)|^b_a-\int_a^b \! \frac{x^3}{3x} \, dx = (\frac{x^3}{3} ln(x)-\frac{x^3}{3x}) |^b_a \end{eqnarray*}$

25.03.2011, 12:54

lgrizu

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RE: partielle Integration

Zitat:

Original von Taladan
Ok Neuer Versuch. Komem aber immer noch nicht auf das richtige Ergebnis.

Sei $\begin{eqnarray*} f'(x) = x^2, f(x)= \frac{1}{3} x^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) = ln(x) \to f'(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Dann folgt
$\begin{eqnarray*} f(x)g(x)|^b_a-\int_a^b \! f(x)g'(x) \, dx = \frac{1}{3}x^3 ln(x)|^b_a-\int_a^b \! \frac{1}{3}x^3 \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^3}{3} ln(x)|^b_a-\int_a^b \! \frac{x^3}{3} \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^3}{3} ln(x)|^b_a-\int_a^b \! \frac{x^3}{3x} \, dx \end{eqnarray*}$

Bis hierhin sieht das doch ganz gut aus.

Zitat:

Original von Taladan
$\begin{eqnarray*} = (\frac{x^3}{3} ln(x)-\frac{x^3}{3x}) |^b_a \end{eqnarray*}$

Aber das hier ist Grottenfalsch, warum hast du denn nun keine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac{x^3}{3x} \end{eqnarray*}$ gebildet?

25.03.2011, 13:14

Taladan

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RE: partielle Integration
Ich bin jetzt überrascht. Warum sollte ich das den? Gemäß Formel muß ich doch nur die beiden Ingrale Subtrairen, was ich auch getan habe. Was habe ich übersehen?

25.03.2011, 15:02

lgrizu

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RE: partielle Integration
Weil du rechts ein Integral stehen hast, man bestimmt Integrale im allgemeinen durch das Bestimmen einer Stammfunktion.

25.03.2011, 15:14

Taladan

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RE: partielle Integration
Hm. Kein wrunder das ich die immer in den Übungen falsch hatte. Ich verstehe dich richtig, ich muss jetzt die Stammfunktion der rechten Seite suche und dann subtraiere?

Aber wie bilde ich aus den Bruch eine Stammfunktion (wenn die Potenz im Nenner stände, wüßte ich es, aber so rum, leider nicht).

25.03.2011, 17:00

Taladan

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RE: partielle Integration
Ok ich habe selbst herumgedocktert und frage mich, ob es richtig ist. ich habe $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{3x} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} * x^2 \end{eqnarray*}$ verändert. Dann habe ich von x^2 die Stammfunktion gezogen und siehe da, es kommt das raus was raus kommen sollte. ABER darf man das so machen, oder habe ich per Zufall einen falschen Weg begangen und dabei das richtige raus bekommen?

25.03.2011, 19:41

lgrizu

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RE: partielle Integration
Das ist richtig.

$\begin{eqnarray*} \int_a^b f(x) \cdot g(x) \dx = [F(x) \cdot g(x) ]_a^b - \int_a^b F(x) \cdot g'(x) \dx \end{eqnarray*}$ .
Nun ist das Integral zu berechnen $\begin{eqnarray*} \int_a^b F(x) \cdot g'(x) \dx \end{eqnarray*}$ , entweder benötigt man hier wieder partielle Integration, oder man kann eine Stammfunktion von F(x)*g(x) bestimmen.

In unserem Beispiel ist zweiteres der Fall, wir können eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} h(x)=F(x) \cdot g(x) \end{eqnarray*}$ bestimmen, diese sei H(x), wir erhalten also oben eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b f(x) \cdot g(x) \dx = [F(x) \cdot g(x) ]_a^b - \int_a^b F(x) \cdot g'(x) \dx= [F(x) \cdot g(x) ]_a^b - \int_a^b h(x) \dx=[F(x) \cdot g(x) ]_a^b -[H(x)]_a^b \end{eqnarray*}$

Edit: Man kann sich das ganze auch mal unter Zuhilfenahme der Kettenregel herleiten:

$\begin{eqnarray*} \int (f(x) \cdot g(x))' \dx =\int f'(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x) \dx=\int f'(x) \cdot g(x) \dx + \int f(x) \cdot g'(x) \dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int f'(x) \cdot g(x) \dx=\int (f(x) \cdot g(x))' \dx-\int f(x) \cdot g'(x) \dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int f'(x) \cdot g(x) \dx= [f(x) \cdot g(x)]-\int f(x) \cdot g'(x) \dx \end{eqnarray*}$

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