Gruppen der Ordnung 125 [PFA]

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen der Ordnung 125 [PFA]
So, vielleicht brauche ich hier Gruppe der Ordnung 1000 [PFA] auch Wissen über diese Gruppenordnung.

Wir haben also

Fall 1: G ist abelsch



Nun ist , also (Anzahl der Partitionen von 3). Damit gibt es 3 verschiedene abelsche Isomorphietypen.





Fall 2: G ist nicht abelsch

So, Ordnung ist nicht gerade. Diedergruppe geht nicht. Vielleicht gibt es für so Fälle auch Standardbeispiele?

Ich habe hier eins mit oberen normierten Dreiecksmatrizen und rest. 3 Einträge aus

Macht es hier Sinn alle zu suchen? Oder bestückt man sich mit "einem" Beispiel.


Allgemeine Eigenschaften

Ungerade Ordnung => auflösbar (Feit-Thompson)
p-Gruppe => Nichttriviales Zentrum
p-Gruppe => Es gibt Element der Ordnung 5 (Cauchy) => Es gibt zykl. Untergruppe der Ordnung 5
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen der Ordnung 125
Zitat:
Original von tigerbine
Ungerade Ordnung => auflösbar (Feit-Thompson)

Damit lässt Du ungefähr dreitausend Artilleriedivisionen auf einen Spatzen los. Der Einsatz von Feit-Thompson sollte sehr genau überlegt sein. Wenn möglich immer einen anderen Weg gehen, auch wenn das etwas Arbeit macht.
Für p-Gruppen ist das als Zitat wirklich völlig überzogen.
______________

Die Ordnung des Zentrums kannst Du bestimmen. Dazu musst Du nur zeigen, dass wenn zyklisch ist, die Gruppe abelsch sein muss. Gab's hier auch irgendwann schon mal im Forum.

Meine erste Idee wäre jetzt eine Fallunterscheidung:
a) Es gibt eine zyklische Untergruppe der Ordnung 25. Diese ist dann normal und man kann die Operation darauf betrachten.
b) Alle nichttrivialen Elemente habe Ordnung 5.

Übrigens ist die Zahl 5 hier gar nicht so wichtig. Wichtig ist, dass es nicht 2 ist. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen der Ordnung 125
Zitat:
Original von Reksilat
Zitat:
Original von tigerbine
Ungerade Ordnung => auflösbar (Feit-Thompson)

Damit lässt Du ungefähr dreitausend Artilleriedivisionen auf einen Spatzen los. Der Einsatz von Feit-Thompson sollte sehr genau überlegt sein. Wenn möglich immer einen anderen Weg gehen, auch wenn das etwas Arbeit macht.
Für p-Gruppen ist das als Zitat wirklich völlig überzogen.


Das verstehe ich nun nicht. Überzogen, weil man in den Beweis so viel reinstecken muss (über 200 Seiten)?

Aus meiner Perspektive: Es hat sich einer die Mühe gemacht, und ich sehe bei ungerader Gruppenordnung gleich, wie ich die Frage nach der Auslösbarkeit zu beantworten habe. Augenzwinkern Sicherlich bringt mich das selbst in Sachen Verständnis nicht weiter.

Ich schreibe in die ersten posts all das rein, was mir ad-hoc einfällt, wenn ich nicht groß zu Stift und Papier greife. Augenzwinkern

Zitat:
Die Ordnung des Zentrums kannst Du bestimmen. Dazu musst Du nur zeigen, dass wenn zyklisch ist, die Gruppe abelsch sein muss. Gab's hier auch irgendwann schon mal im Forum.


Ist eine andere Frage aus dem Katalog. Ich lagere das dann in einen anderen Thread aus, ok?

G/Z(G) zyklisch => G abelsch [PFA]
|G|=p³ und nichtabelsch => |Z(G)|=p [PFA]

So, damit wollten wir nun arbeiten, um zu zeigen, dass G auflösbar ist, ja?
Und wofür ist wichtig, dass p nicht 2 ist?
Manus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen der Ordnung 125
Zitat:
Original von tigerbine
Zitat:
Original von Reksilat
Zitat:
Original von tigerbine
Ungerade Ordnung => auflösbar (Feit-Thompson)

Damit lässt Du ungefähr dreitausend Artilleriedivisionen auf einen Spatzen los. Der Einsatz von Feit-Thompson sollte sehr genau überlegt sein. Wenn möglich immer einen anderen Weg gehen, auch wenn das etwas Arbeit macht.
Für p-Gruppen ist das als Zitat wirklich völlig überzogen.


Das verstehe ich nun nicht. Überzogen, weil man in den Beweis so viel reinstecken muss (über 200 Seiten)?

Aus meiner Perspektive: Es hat sich einer die Mühe gemacht, und ich sehe bei ungerader Gruppenordnung gleich, wie ich die Frage nach der Auslösbarkeit zu beantworten habe. Augenzwinkern Sicherlich bringt mich das selbst in Sachen Verständnis nicht weiter.




Da Reksilat nicht da ist: Genau das ist der Punkt. Man sollte sich überlegen, ob man die Frage nach der Auflösbarkeit nicht auch mit elementareren Mitteln beweisen kann (insbesondere am besten mit Sätzen, deren Beweis man versteht). Und das ist hier völlig problemlos möglich, da man leicht zeigen kann, dass jede p-Gruppe auflösbar ist.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen der Ordnung 125
Für p=2 kommen andere Gruppen raus. Zum Beispiel ist eine Gruppe, in der alle Elemente die Ordnung 2 haben immer abelsch. Für eine Primzahl p>2 gilt das im Allgemeinen nicht. Da hast Du oben sogar schon ein Beispiel gegeben.

Allerdings ist das Vorgehen und das Ergebnis hier für alle ungeraden Primzahlen gleich. Ob Du das jetzt wirklich durchziehen willst, ist eine andere Frage. Gerade der oben erwähnte Fall a) ist imho noch ein wenig komplizierter, da man erst mal zeigen muss, dass man außerhalb der zyklischen Gruppe noch eine Element der Ordnung 5 findet.
Wenn Du ein paar passende Resultate über p-Gruppen zur Hand hast, ist das bestimmt eine Arbeitserleichterung.

Gruß,
Reksilat.

PS:
Zum Feit-Thompson. Mir fällt da vor allem der Satz von Schur Zassenhaus ein, bei dem man mit Feit-Thompson eine Voraussetzung weglassen könnte, das aber im allgemeinen nicht macht. Siehe zum Beispiel hier auf Seite 76 Satz 8.2 sowie die anschließende Bemerkung auf Seite 79.

Dein Zitat des Odd-Order-Theorems würde ich damit vergleichen, die Nichtlösbarkeit der Gleichung in mit Fermat zu erledigen. Augenzwinkern

Ich gebe natürlich zu, dass man so was zu Beginn nicht wissen kann, aber normalerweise sollten in einer Vorlesung solche gewaltigen Resultate nicht ohne Warnung vor leichtfertigem Umgang damit erwähnt werden. Insbesondere weiß man hier ja nicht, was alles im Beweis drinsteckt und dadurch kann es ganz leicht zu einem Zirkelschluss kommen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen der Ordnung 125
Zitat:
Für p=2 kommen andere Gruppen raus. Zum Beispiel ist eine Gruppe, in der alle Elemente die Ordnung 2 haben immer abelsch. Für eine Primzahl p>2 gilt das im Allgemeinen nicht. Da hast Du oben sogar schon ein Beispiel gegeben.


Ah, du meintest die weitere Untersuchung hier. Ich dachte du meintest die Auflösbarkeit (und auch mit p=2 ist es ja eine p-Gruppe). Da habe die Trennline wohl nicht deutlich genug interpretiert.

Ok, ich merke, dass ich bei ungerader Gruppenordnung (wegen Feit Thompson) an äuflösbar denke, es dann aber versuche anders zu zeigen. Augenzwinkern

Für p-Gruppen ist ein Beweis im Buch. Den gehe ich mal durch und frage euch dann, falls ich hängen bleibe.

_____________________________________

Zitat:
Fall 2: G ist nicht abelsch

So, Ordnung ist nicht gerade. Diedergruppe geht nicht. Vielleicht gibt es für so Fälle auch Standardbeispiele?

Ich habe hier eins mit oberen normierten Dreiecksmatrizen und rest. 3 Einträge aus


Ist das das klassische Beispiel? Oder was nehmt ihr aus eurem Fundus. Augenzwinkern
 
 
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist sicher ein klassisches Beispiel. Es ist eine -Sylowgruppe in der und wird auch als bezeichnet, wobei ich nicht genau weiß, was diese Bezeichnung bedeuten soll oder wie sie motiviert ist. Diese Gruppe hat Exponenten .
Es gibt noch eine weitere nicht-abelsche -Gruppe von Ordnung , die dann mit bezeichnet wird. Sie hat Exponenten .

Das hat der Assistent der Algebravorlesung, die ich dieses Semester besucht habe, uns gesagt, als wir die untersucht haben.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
Es gibt noch eine weitere nicht-abelsche -Gruppe von Ordnung , die dann mit bezeichnet wird. Sie hat Exponenten .

Das hat der Assistent der Algebravorlesung, die ich dieses Semester besucht habe, uns gesagt, als wir die untersucht haben.


Aber wie die aussieht, hat er nicht gesagt, oder?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Das andere ist dann eben eine zykische Gruppe der Ordnung , auf der ein Automorphismus der Ordnung operiert.
ist die zyklische Gruppe und dann gibt es noch ein der Ordnung mit .

Mit Permutationen dargestellt sieht das so aus
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zu den Bezeichnungen:
Mit bezeichnet man im allgemeinen eine extraspezielle Gruppe.
(d.h. Das Zentrum ist zyklisch von der Ordnung und die Faktorgruppe nach dem Zentrum ist eine elementar abelsche Gruppe der Ordnung – also ein 2n-dimensionaler Vektorraum über )

Bei p=2 gibt es da nur zwei Isomorphietypen:
- Ein zentrales Produkt von n-mal
- Ein zentrales Produkt von (n-1)-Mal und einmal
Ersteres wird mit und das zweite mit bezeichnet. Dies passt zum Typ der orthogonalen Gruppe, die darauf als äußere Automorphismengruppe operiert. Allerdings führt das jetzt ziemlich weit...

Bei ungeradem gibt es eine ähnliche Unterscheidung, nur ist mir da die Bezeichnung mit + und - nicht geläufig.

Siehe auch hier: http://en.wikipedia.org/wiki/Extra_special_group

Gruß,
Reksilat.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für diese Erklärung Reksilat.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ch habe hier eins mit oberen normierten Dreiecksmatrizen und rest. 3 Einträge aus


Zitat:
Original von jester.
Ja, das ist sicher ein klassisches Beispiel. Es ist eine -Sylowgruppe in der und wird auch als bezeichnet, wobei ich nicht genau weiß, was diese Bezeichnung bedeuten soll oder wie sie motiviert ist. Diese Gruppe hat Exponenten .


Den Gedanken mit den Dreiecksmatrizen nochmal aufgreifend. Was passiert denn, wenn ich p=2 nehmen würde? Dann wäre das eine Gruppe der Ordnung 8, da kennen wir ja die Isomorphietypen. Wenn der Exponent 2 ist, dann ist jedes Element zu sich selbst invers und dann müßte die Gruppe abelsch sein, oder?

Nun wollte ich mal nachrechnen... aber da passt was nicht.... Modulo 2 kommutiert das hier doch nicht... und C müßte die Ordnung 4 haben... verwirrt

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
A=[1,1,1;0,1,0;0,0,1]
A =
     1     1     1
     0     1     0
     0     0     1
>> B=[1,0,1;0,1,1;0,0,1]
B =
     1     0     1
     0     1     1
     0     0     1
>> C=A*B
C =
     1     1     3
     0     1     1
     0     0     1
>> D=B*A
D =
     1     1     2
     0     1     1
     0     0     1
>>C*C
ans =
     1     2     7
     0     1     2
     0     0     1
>> C*C*C*C
ans =
     1     4    18
     0     1     4
     0     0     1


Als Zentrum hätte ich allgemein bei diesen Gruppen gedacht, dass gilt und die Matrizen würden so aussehen [x aus 0,1,...,p-1]

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
A=[1,1,1;0,1,0;0,0,1]
Z =
     1     0     x
     0     1     0
     0     0     1


Ist das mit diesen Dreiecksmatrizen dann vielleicht eher der andere Fall oder ist es einfach zu spät und das Standbybrain liefert zu wenig Denkleistung ...

Zitat:
Es gibt noch eine weitere nicht-abelsche -Gruppe von Ordnung , die dann mit bezeichnet wird. Sie hat Exponenten .
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Wende Eine Gruppe isomorph zu einer Diedergruppe mal auf und an. Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe den Hinweis nicht. In der Diedergruppe ist der Exponent doch nicht 2.... Und das ist hier mein Probem. Du hattest gesagt, dass für diese Dreiecksmatrizen Fall 1 von dir gilt (zumindest kam das so an)

Reksilat erwähnte, dass es wichtig ist, dass p nicht 2 ist. Ich dachte, das bezieht sich auch auf dies Matrizengruppe.

Nun habe ich mich gefragt, was passiert, wenn ich p=2 nehme... Deinem letzten Hinweis nach, wird das dann zur Diedergruppe isomorph sein... Aber insgesamt passt es dann doch irgendwie nicht zusammen...Die hat doch Exponent 4=p²....

Versteht ihr, was ich meine ... Ups
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Matrixgruppe:
Betrachte:


Es ist
(Glaub ich zumindest Big Laugh )

Damit kannst Du Dir die Ordnungen ganz leicht ausrechnen.

Und da siehst Du eben auch wieder einen Unterschied zwischen geraden und ungeraden Primzahlen. Wie man leicht sieht, ist der Exponent hier eben nur im zweiten Fall p, wohingegen für p=2 der Exponent 4 ist.

PS: Zumindest in der endlichen Gruppentheorie gibt es nur zwei verschiedene Primzahlen:
2 und alle anderen Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, werde ich rechnen...

Es ging mir darum, dass ich mit den Matrizen doch ein Beispiel für nichtabelsch bauen will. Wenn ich dann gesagt hätte: Das geht nur für p>2, hätte ich mich doch in die Nesseln gesetzt. traurig

Für p=2 geht es auch, das liefert dann die Diedergruppe (also nichts neues, aber es fügt sich ins System ein, so was nicht abelsches zu konstuieren) ...

Zitat:
Und da siehst Du eben auch wieder einen Unterschied zwischen geraden und ungeraden Primzahlen


Gott sei Dank gibt es nicht so viele gerade davon .... Big Laugh

Und für die ungeraden haben wir dann Exponent p, ok.

edit:
PS: Zumindest in der endlichen Gruppentheorie gibt es nur zwei verschiedene Primzahlen:

Willst du mich nun in die Krise stürzen.... traurig Big Laugh Wink
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Weil du mir das http://de.wikipedia.org/wiki/Nilpotente_Gruppe im anderen Thread gepostet hast:

Zitat:
Jede endliche p-Gruppe ist nilpotent. Eine unendliche p-Gruppe ist nilpotent, wenn die Ordnung der Gruppenelemente beschränkt ist. (Beachte, dass diese Forderung stärker ist, als die Forderung endlicher Ordnung für Gruppenelemente, die durch die Definition der p-Gruppe ohnehin gewährleistet ist.)

Eine endliche nilpotente Gruppe ist isomorph zum direkten Produkt ihrer p-Sylow-Untergruppen. Man beachte dabei, dass jede nilpotente Gruppe zu jeder Primzahl p genau eine (ggf. triviale) p-Sylow-Untergruppe besitzt.


Mit Sylow kommt man bei p-Gruppen ja nur auf . Cauchy sagt, dass es mind. eine Untergruppe der Ordnung p gibt. Wie kann ich dieses "nilpotent" und "direktes Produkt" nun ausnutzen?

Wenn wir uns noch mal Ordnung 8 anschauen. Wir hatten und . Und die kann man als direktes Produkt schreiben.. verwirrt Da komme ich nicht mit... verwirrt
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Sylow bringt bei p-gruppen rein gar nix. Die sylowgruppe ist dann ja die gruppe selbst.
Das direkte produkt ist bei der eben . Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Haha, da braucht man Humor. LOL Hammer Danke. Wink
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nachtrag:

Wir hatten die Klassifizierung der nicht abelschen ja nicht gemacht. Will ich auch nicht. Könnt ihr mit sagen, wie viele es gibt, also mit GAP und was hier mit "kleine Gruppe" gemeint ist

http://users.minet.uni-jena.de/~green/Co...s/index_de.html

Wink
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Das "klein" bezieht sich meines Wissens nur auf die Ordnung. Man kann die Gruppe nach der Ordnung klassifizieren und deshalb ist sie eben "klein". Andernfalls weiß ich nicht, was damit gemeint sein soll.
Siehe: http://www-public.tu-bs.de:8080/~hubesche/small.html

Die Klassifikation der nichtabelschen steht bereits in der Workshopschmiede. Es gibt zwei. Die Liste aus Deinem Link ist also vollständig.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke. Lese ich nach der CL. Wink
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