Gruppe der Ordnung 12 [PFA] - Seite 2

26.03.2011, 22:46

Mystic

Obige Fragen können alle mit ja beantwortet werden, insbesondere ist ohne einen nichttrivialen Normalteiler keine weitere Reduktion möglich... Augenzwinkern

26.03.2011, 22:48

tigerbine

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, dass du mit mir durchgehalten hast. Und vielen vielen Dank. Blumen

26.03.2011, 22:57

Mystic

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Gern geschehen... Augenzwinkern

Tatsächlich ist die Klassifikation der Gruppen der Ordnung 12 wirklich eine sehr, sehr nette Übungsaufgabe, wie mir erst selbst jetzt so richtig bewußt geworden ist...

31.03.2011, 02:59

tigerbine

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Ich glaube, wir haben im Fall 2 noch eine Variante vergessen. Ups

Zitat:

Wir haben einen Normalteiler N der Ordnung 3. Für diesen gibt es nur einen Isomorphietyp $\begin{eqnarray*} N \cong \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ . Daher gilt für die Automorphismengruppe $\begin{eqnarray*} \text{Aut}(N) \cong C_2 \end{eqnarray*}$ . Wir machen hier die Fallunterscheidung bzgl. der Isomophietypen der Untergruppe U der Ordnung 4. Sei $\begin{eqnarray*} U \cong \mathbb Z_4 \end{eqnarray*}$ .

Dann könnte $\begin{eqnarray*} \phi_u \end{eqnarray*}$ ja noch die Inversion sein, und wir hätten den Isotyp $\begin{eqnarray*} G \cong C_4 \ltimes C_3 \end{eqnarray*}$ (siehe ) und $\begin{eqnarray*} \phi_u(n)=unu^{-1}=n^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G=\langle u,n ~|u^4=n^3=e,~unu^{-1}=n^{-1}\rangle \end{eqnarray*}$

31.03.2011, 11:23

Mystic

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Zitat:

Original von tigerbine
Dann könnte $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ja noch die Inversion sein, und wir hätten den Isotyp $\begin{eqnarray*} G \cong C_4 \ltimes C_3 \end{eqnarray*}$ (siehe ) und $\begin{eqnarray*} \phi_u(n)=unu^{-1}=n^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G=\langle u,n ~|u^4=n^3=e,~unu^{-1}=n^{-1}\rangle \end{eqnarray*}$

Ja, $\begin{eqnarray*} \phi_u \end{eqnarray*}$ (nicht $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ !) könnte auch die Inversenbildung in $\begin{eqnarray*} C_3 \end{eqnarray*}$ sein, dein diesbezüglich falsches Argument im Fall 2a habe ich leider auch überlesen... unglücklich

31.03.2011, 17:15

tigerbine

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Zitat:

Original von Mystic
... dein diesbezüglich falsches Argument im Fall 2a habe ich leider auch überlesen... unglücklich

Aber mich so fit gemacht, dass ich es beim erneuten Lesen gefunden habe. Augenzwinkern

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