Taylorentwicklung unverständlich, daher viele Fragen...

25.03.2011, 02:32

Gantz

Taylorentwicklung unverständlich, daher viele Fragen...

Meine Frage:
Ich kann diese Aufgabe einfach gar nicht lösen, weil mir manche Begriffe nicht klar sind. Deswegen wollte ich die Aufgabe komplett durchrechnen. Papula und Internet rechen immer (scheinbar) einfacher...

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f:[-1,1)--> R^1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=-ln(1-x) \end{eqnarray*}$

a:Geben sie die Potenzreihenentwicklung P(x,0) der Funktion f im Entwicklungspunkt x=0 an.

b:Bestimmen sie den Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} r_P \end{eqnarray*}$ der Potenzreihe.

c:Vergleichen sie $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P'(x,0) \end{eqnarray*}$ auf einer abgeschlossenen, nicht leeren Teilmenge des Konvergenzintervalls! (z.B. $\begin{eqnarray*} [-a,a]\subset[-r_P,r_P] \end{eqnarray*}$ )

d(Zusatz ohne Rechnung):Untersuchen sie, ob P(x,0) auch in den Punkten $\begin{eqnarray*} x=r_P \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x=-r_P \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Meine Ideen:
Lsg.
(a)d.h. Taylorentwicklung bis zur zweiten Ableitung (oder dritten?) + ... :

$\begin{eqnarray*} f(x)=-ln(1-x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=(1-x)^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=(1-x)^{-2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=\frac{2}{(1-x)^{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=-ln(1-0)+\frac{(1-0)^{-1}}{1!}(x-0)+\frac{(1-0)^{-2}}{2!}(x-0)+\frac{2}{(1-x)^{3}*3!}... \end{eqnarray*}$

Macht: $\begin{eqnarray*} f(x)=0+1x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x+... \end{eqnarray*}$

War es das jetzt?

(b) Die allgemeine Formel des Konvergenzradius ist:

$\begin{eqnarray*} r_p=\frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} } \end{eqnarray*}$

Da scheinbar die Beziehung besteht $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ geht:

$\begin{eqnarray*} r_p=\frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|\frac{1}{n}|} } = 1? \end{eqnarray*}$

d.h. Konvergenz $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ & Divergenz $\begin{eqnarray*} |x|>1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -r_P=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_P=1 \end{eqnarray*}$

Das sollte es gewesen sein.

c: Komplett geraten...

$\begin{eqnarray*} [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\subset[-1,1] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(\frac{1}{2})=(1-\frac{1}{2})^{-1}=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(-\frac{1}{2})=(1+\frac{1}{2})^{-1}=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P'(\frac{1}{2},0)=-ln(1-0)+\frac{(1-0)^{-1}}{1!}(\frac{1}{2}-0)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P'(-\frac{1}{2},0)=-ln(1-0)+\frac{(1-0)^{-1}}{1!}(-\frac{1}{2}-0)=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Keine Ahnung was das soll... Also was bedeutet das?

d: Ich würde mal sagen, dass ich eine Taylorentwicklung an den Konvergenzradius durchführe bzw. x=1 als Entwicklungspunkt ansetze.

Vielen Dank für die Hilfe.

25.03.2011, 05:35

Dopap

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RE: Taylorentwicklung unverständlich, daher viele Fragen...

Zitat:

Original von Gantz

$\begin{eqnarray*} f(x)=-ln(1-x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=(1-x)^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=(1-x)^{-2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=\frac{2}{(1-x)^{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=-ln(1-0)+\frac{(1-0)^{-1}}{1!}(x-0)+\frac{(1-0)^{-2}}{2!}(x-0)+\frac{2}{(1-x)^{3}*3!}... \end{eqnarray*}$

Macht: $\begin{eqnarray*} f(x)=0+1x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x+... \end{eqnarray*}$

War es das jetzt?

Ein ganz entschiedenes Nein.
1.) deine Ableitungen sollten alternierendes Vorzeichen enthalten.
2.) das n-te Glied ist nicht formuliert.

Es gilt Mc Laurin Reihe: $\begin{eqnarray*} f(x)=\sum\limits_{k=0}^n \frac{f^{(k)}{(0)}}{k!}x^k+R_n \end{eqnarray*}$

3.) wo sind die Potenzen von x geblieben?
4.) nicht Ableitungen von f(x) , sondern Ableitungen an der Stelle 0.

Das Ganze nochmals mit Sorgfalt von Vorne, das könnte dem Rest der Aufgabe auch dienlich sein.

25.03.2011, 13:08

Gantz

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RE: Taylorentwicklung unverständlich, daher viele Fragen...
Also bei mir kommen keine Vorzeichenwechsel vor? traurig

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{1-x}=(1-x)^{-1} \end{eqnarray*}$

Kettenregel:
$\begin{eqnarray*} -\frac{\frac{d}{dx}(1-x)}{(1-x)^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=1/(1-x)^2 \end{eqnarray*}$

und das ist bei mir auch bei f'' der Fall.

Geänderter Verlauf
Lsg.
(a)d.h. Taylorentwicklung bis zur zweiten Ableitung (oder dritten?) + ... :

Also fn einfügen

$\begin{eqnarray*} f(x)=-ln(1-x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=(1-x)^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=(1-x)^{-2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=\frac{2}{(1-x)^{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=-ln(1-0)+\frac{(1-0)^{-1}}{1!}(x-0)-\frac{(1-0)^{-2}}{2!}(x-0)+\frac{2}{(1-x)^{3}*3!}+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{1*2*3*...*n}(x-x_0)^n+R_n \end{eqnarray*}$

Soll man das also so schreiben mit dem n-ten Glied oder lieber irgendwie wie es sein wird? Gleiches mit dem Restglied

also $\begin{eqnarray*} \frac{(1-0)^{-n}}{n}(x-0)^n \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Dopap
3.) wo sind die Potenzen von x geblieben?
4.) nicht Ableitungen von f(x) , sondern Ableitungen an der Stelle 0.

3.) Ich dachte, dass ich die drin habe?

4.) Ich dachte, dass es erstmal dienlich ist, die allgemein zu Lösen und dann 0 einzusetzen. verwirrt

Oder wie ist das gemeint?

Vielen Dank für die Hilfe

25.03.2011, 15:06

Dopap

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RE: Taylorentwicklung unverständlich, daher viele Fragen...

Zitat:

Original von Gantz
Also bei mir kommen keine Vorzeichenwechsel vor? traurig

$\begin{eqnarray*} f(x)=-ln(1-x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac {-1}{x-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac {1}{(x-1)^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=\frac {-2}{(x-1)^3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(4)}(x)=\frac {3\cdotp 2}{(x-1)^4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(5)}(x)=\frac {-4\cdotp 3 \cdotp 2}{(x-1)^5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(6)}(x)=\frac {5\cdotp 4\cdotp 3\cdotp 2}{(x-1)^6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(k)}(x)=(-1)^{k} \frac {(k-1)\cdotp (k-2) \cdots4\cdotp 3 \cdotp 2}{(x-1)^k}=(-1)^{k} \frac {(k-1)!}{(x-1)^k} \end{eqnarray*}$

Hinweis.1: der Ersatz von (1-x) durch (x-1) erspart das jeweilige (-1) nach kettenregel.
Hinweis.2: die Taylorentwicklung solange durchführen, bis das k-te Glied "sichtbar" wird

In Mc-Laurin steht: $\begin{eqnarray*} \frac {f^{(k)}(0)}{k!}x^k \end{eqnarray*}$

Du musst jetzt noch 0 für x in $\begin{eqnarray*} f^{(k)}(x)\quad \end{eqnarray*}$ einsetzten, den entstehenden Vorzeichenwechsel im Nenner mit dem im Zähler verrechnen, die Fakultäten kürzen,
noch mit x^k multiplizieren und die Summe bilden...

25.03.2011, 21:24

Gantz

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RE: Taylorentwicklung unverständlich, daher viele Fragen...
Also auf ein neues! Und vielen Dank für die Hilfe bis jetzt.

A)

Ich leite ab, bis ich eine eine Regelmäßigkeit erkenne.

$\begin{eqnarray*} f(x)=-ln(1-x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac {-1}{x-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac {1}{(x-1)^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=\frac {-2}{(x-1)^3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(4)}(x)=\frac {3\cdotp 2}{(x-1)^4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(5)}(x)=\frac {-4\cdotp 3 \cdotp 2}{(x-1)^5} \end{eqnarray*}$

Entwicklung der Funktion (Mac Laurinsche Reihe)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x)}{n!}x^n=\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{1}{(x-1)^n*n}x^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{1}{(0-1)^n*n}x^n \end{eqnarray*}$

Dann sollte das die Lsg für a sein.

B)
Der Konvergenzradius ergibt sich aus:
$\begin{eqnarray*} r_P=\frac{1}{\lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{|a_n|} } \end{eqnarray*}$

oder besser:
$\begin{eqnarray*} r_P=\lim_{n \to \infty } |\frac{a_n}{a_{n+1}}| \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{f^{(n)}x}{n!}=\frac{1}{(0-1)^n*n} \end{eqnarray*}$ sein sollte. (ohne -1^n wegen Betrag und n=n+1 für a_n+1)

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }| \frac{(0-1)^{n+1}*(n+1)}{(0-1)^{n}*(n)} |=\lim_{n \to \infty }\frac{(0-1)^1}{n}=0 \end{eqnarray*}$

Richtig?

25.03.2011, 23:26

Dopap

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RE: Taylorentwicklung unverständlich, daher viele Fragen...

Zitat:

Original von Gantz

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{1}{(0-1)^n*n}x^n \end{eqnarray*}$

du bist definitiv kein Freund von Vereinfachung von Termen! (Das ist kein Spass.)
warum nicht so:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n}x^n \end{eqnarray*}$
sieht doch deutlich besser aus!
trotzdem: die Formel gilt offensichtlich nicht für n=0
demnach muss $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ vom Original gezogen werden:

$\begin{eqnarray*} f(0)=-\ln {(1-0)}=0 \end{eqnarray*}$

sodass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}x^n \end{eqnarray*}$ verbleibt

überall lauern Fallstricke...
und jetzt nochmals den B-Teil

26.03.2011, 00:16

Gantz

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Manchmal sehe ich auch den Wald vor lauter Bäumen nicht. traurig

Ok, also:

Der Konvergenzradius ergibt sich aus:
$\begin{eqnarray*} r_P=\lim_{n \to \infty } |\frac{a_n}{a_{n+1}}| \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{f^{(n)}x}{n!}=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ sein sollte.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }| \frac{n+1}{n} |=1 \end{eqnarray*}$

Also Konvergenzradius: $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt wieder was falsch habe fang ich an zu schreien.

26.03.2011, 00:25

Dopap

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wenn du mit Sorgfalt rechnest gibt es nie Gründe zum Schreien.
alles jetzt
$\begin{eqnarray*} \text{ }\checkmark \end{eqnarray*}$ Freude

edit: du hast dich wacker geschlagen!

26.03.2011, 00:48

Gantz

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Vielen Dank und auch für die viele Geduld, dass war sicher nicht einfach zu ertragen, was da geschrieben wurde. Freude

Aber... was ist nun mit dem C und D Part?

$\begin{eqnarray*} [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\subset[-1,1] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(\frac{1}{2})=\frac {-1}{x-1}=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(-\frac{1}{2})=\frac {-1}{x-1}=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Einfach mal nach x ableiten?

$\begin{eqnarray*} P'(\frac{1}{2},0)=\sum\limits_{n=1}^\infty x^{n-1}=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P'(-\frac{1}{2},0)=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Ok, ich hätte vllt ne lim mit rein nehmen sollen, aber so sollte es doch sicher fast aussehen... Werte passe irgendwie so schön.

26.03.2011, 02:28

Dopap

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Zitat:

Original von Gantz

$\begin{eqnarray*} f'(\frac{1}{2})=\frac {-1}{x-1}=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(-\frac{1}{2})=\frac {-1}{x-1}=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

deine Schreibfiguren sind nach wie vor zum [attach]18738[/attach]

Wenn f(x) das Argument 1/2 [-1/2]hat, dann darf x nicht mehr auftauchen!! Lehrer

zu c.) Vergleiche einfach f'(x) und P'(x) [was immer das bedeuten mag]
zu d.) setz' eben plus minus 1 ein und schau, ob die Randwerte auch konvergieren oder nicht.
-------------------------------------
das ist genug. Ich geh jetzt in's Bett... Tanzen

26.03.2011, 21:39

Gantz

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Ja, das war nur so zur Ansicht....

Also sollte c passen mit 0,5 oder sollte ich lieber a lassen?

OK, dann sollte ja alles klar sein. Vielen Dank.

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