[Topologie] Teilmenge F von R^2 abgeschlossen <=> F enth. HP

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[Topologie] Teilmenge F von R^2 abgeschlossen <=> F enth. HP


Mein Versuch:

Beweis:


Sei abgeschlossen und ein Häufungspunkt von . Dann enthält die offene Umgebung Punkte, die von verschieden sind. Es gibt aber keine offene Umgebung , die ganz in liegt. Das heißt ist kein innerer Punkt von . Da abgeschlossen, ist offen. Daraus folgt, daß nicht in liegt und somit

Für überlege ich mir noch etwas.

Stimmt die Überlegung für bisher so?


Ibn Batuta
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich mir für überlegt:

Nehme an, daß ihre Häufungspunkte enthält. Sei . Dann ist kein Häufungspunkt von . Wenn abgeschlossen sei, dann ist offen und dann existiert mindestens eine offene Umgebung , die ganz in liegt, also und somit ein innerer Punkt von . Damit ist offen und abgeschlossen.


Ibn Batuta
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Topologie] Teilmenge F von R^2 abgeschlossen <=> F enth. HP
Zitat:
Original von Ibn Batuta


Mein Versuch:

Beweis:


Sei abgeschlossen und ein Häufungspunkt von . Dann enthält die offene Umgebung Punkte, die von verschieden sind und in F liegen. Es gibt also keine offene Umgebung , die ganz in liegt. Das heißt ist kein innerer Punkt von . Da abgeschlossen, ist offen. Daraus folgt, daß nicht in liegt und somit


Mit der Formulierung wird der Gedankengang deutlicher.

Also angenommen, ein HP p liegt außerhalb von F, dann läge er in der offenen Menge . Dann gäbe es eine offene Umgebung von p, die ganz in liegt. Dies ist aber nicht möglich, da p HP von F, also jede Umgebung von p die Menge F nicht-trivial schneidet.
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ibn Batuta
Das habe ich mir für überlegt:

Nehme an, daß ihre Häufungspunkte enthält. Sei . Dann ist kein Häufungspunkt von . Wenn abgeschlossen sei, dann ist offen und dann existiert mindestens eine offene Umgebung , die ganz in liegt, also und somit ein innerer Punkt von . Damit ist offen und abgeschlossen.


Ibn Batuta


Das ist auch richtig. Eine Menge U ist genau dann offen, wenn jeder Punkt der Menge eine offene Umgebung hat, die ganz in U liegt. Dies ist hier für jedes p gesichert, da es kein HP von F ist.
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Super, danke für deine Antwort. Freude (Grundlagen der) Topologie macht ja richtig Spaß. smile


Ibn Batuta
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ibn Batuta

Das habe ich mir für überlegt:

Nehme an, daß ihre Häufungspunkte enthält. Sei . Dann ist kein Häufungspunkt von . Wenn abgeschlossen sei, dann ist offen und dann existiert mindestens eine offene Umgebung , die ganz in liegt, also und somit ein innerer Punkt von . Damit ist offen und abgeschlossen.

Ibn Batuta


Je nachdem, wie man das Rote liest, müsste man hier wohl doch noch den Zirkel schlussendlich rausnehmen...
 
 
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gonnabphd
Zitat:
Original von Ibn Batuta

Das habe ich mir für überlegt:

Nehme an, daß ihre Häufungspunkte enthält. Sei . Dann ist kein Häufungspunkt von . Wenn abgeschlossen sei, dann ist offen und dann existiert mindestens eine offene Umgebung , die ganz in liegt, also und somit ein innerer Punkt von . Damit ist offen und abgeschlossen.

Ibn Batuta


Je nachdem, wie man das Rote liest, müsste man hier wohl doch noch den Zirkel schlussendlich rausnehmen...


Ups, da hab ich nicht richtig gelesen. So wie ich es skizziert habe, ist es dann richtig. Jedes p hat eine offene Umgebung, die ganz in liegt, weil p kein HP von F ist. Nicht weil offen ist. Sonst ist es wirklich ein Zirkelschluss.
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Merlinius
Ups, da hab ich nicht richtig gelesen. So wie ich es skizziert habe, ist es dann richtig. Jedes p hat eine offene Umgebung, die ganz in liegt, weil p kein HP von F ist.


Kann ich daraus folgern, daß offen ist? könnte ja abgeschlossen auch sein, dann hätte man noch immer eine offene Umgebung, die aber ganz in liegt...


Ibn Batuta
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ibn Batuta
Zitat:
Original von Merlinius
Ups, da hab ich nicht richtig gelesen. So wie ich es skizziert habe, ist es dann richtig. Jedes p hat eine offene Umgebung, die ganz in liegt, weil p kein HP von F ist.


Kann ich daraus folgern, daß offen ist? könnte ja abgeschlossen auch sein, dann hätte man noch immer eine offene Umgebung, die aber ganz in liegt...


Ibn Batuta


ist dann automatisch offen, denn wie ich oben geschrieben habe, ist eine Menge U offen genau dann wenn jedes eine offene Umgebung hat. Denn dann ist bereits:



Also Vereinigung offener Mengen, also offen.

"Abgeschlossen" ist übrigens nicht das Gegenteil von "offen". Deshalb kann man nicht argumentieren " kann auch abgeschlossen sein, also nicht offen".

edit: Der Vollständigkeit halber: Man muss eigentlich immer sagen "offen in ...". Offenheit ist eine Eigenschaft, die sich auf den umgebenden Raum (bzw. auf die Topologie) bezieht. Deshalb sind meine Formulierungen "U ist offen" etc. alle etwas schlampig. In weniger trivialen Beispielen wird das schnell missverständlich. Z.B. ist offen im Teilraum mit Standardtopologie, aber nicht offen in
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Merlinius
"Abgeschlossen" ist übrigens nicht das Gegenteil von "offen".


Okay. verwirrt
Hast du vielleicht ein Beispiel für eine Menge, die abgeschlossen und offen ist?


Ibn Batuta
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ibn Batuta
Zitat:
Original von Merlinius
"Abgeschlossen" ist übrigens nicht das Gegenteil von "offen".


Okay. verwirrt
Hast du vielleicht ein Beispiel für eine Menge, die abgeschlossen und offen ist?


Ibn Batuta


Die trivialen Beispiele sind natürlich in jedem topologischen Raum. Einen topologischen Raum, in dem diese beiden die einzigen Mengen sind, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind, nennt man "zusammenhängend". ist etwa zusammenhängend.

Ein Beispiel für einen nichtzusammenhängenden Raum habe ich oben genannt:



Hier ist die Menge [0, 1] offen und abgeschlossen.
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Okay.. Da werde ich mich noch genauer einlesen. Danke schonmal!


Ibn Batuta
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