Gibt es für die Matrix A nur eine Inverse oder mehrere?

25.03.2011, 14:09

Panceco

Gibt es für die Matrix A nur eine Inverse oder mehrere?

Hallo,

ich habe die Musterlösung zu der Aufgabe:

[attach]18785[/attach]

Doch habe ich folgende für $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 4 & 1 & i \\ -1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & i \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
I-III
II+III
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & -3 & 0 \\ 1 & 6 & i \\ 2 & 4 & i \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
II+2*I
II*I
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & -3 & 0 \\ 3 & 0 & i \\ 4 & 1 & i \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
II-III
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & -3 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 4 & 1 & i \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
II*-(1)
II-2*I
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & -3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 7 & i \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
I-II
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 7 & i \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
II-I
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 7 & i \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -3 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
III-2*II
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & i \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -3 & -2 & 1 \\ 5 & 4 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
II:3
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & i \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -\frac{3}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ 5 & 4 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
+2*II
III-II
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & i \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ -\frac{3}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{18}{3} & \frac{14}{3} & -\frac{1}{3} \end{vmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$
III*i
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ -\frac{3}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{18}{3}i & \frac{14}{3}i & -\frac{1}{3}i \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
III*(-1)
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ -\frac{3}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{18}{3}i & -\frac{14}{3}i & \frac{1}{3}i \end{vmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

Also habe ich als Lösung:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ -\frac{3}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{18}{3}i & -\frac{14}{3}i & \frac{1}{3}i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Fragen sind nun, gibt es mehr als eine Inverse zu einer Matrix und habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?

Vielen Dank für Eure Hilfe Freude

25.03.2011, 14:17

tigerbine

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Die Inverse ist eindeutig. Dass deine Lösung nicht stimmt, zeigt die Probe. Zum Rechenfehler suchen reicht meine Zeit nicht.

25.03.2011, 14:22

Merlinius

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Wie löst Du denn bitte ein lineares Gleichungssystem auf Big Laugh

-> Gauß-Jordan-Algorithmus

25.03.2011, 14:59

Panceco

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Verstehe :/
Aber welche meiner Schritte sind laut Gauß-Jordan-Algorithmus nicht legitim?
Wenn ich schon Fehler mache will ich auch was draus lernen ^^

25.03.2011, 18:19

Merlinius

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Zitat:

Original von Panceco
Verstehe :/
Aber welche meiner Schritte sind laut Gauß-Jordan-Algorithmus nicht legitim?
Wenn ich schon Fehler mache will ich auch was draus lernen ^^

In den ersten drei Schritten schiebst Du auf eine mir unerklärliche Weise die Gleichungen hin und her.

Im Gauß-Algorithmus wäre der erste Schritt: II+1/4·I, III - 1/2·I.

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