[Topologie] Durchschnitt bel. Familien von Top. wieder eine Topologie

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Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »
[Topologie] Durchschnitt bel. Familien von Top. wieder eine Topologie



Mein Versuch:

Es langt, wenn ich zeige, daß es für zwei Topologien und zeige und mit vollständiger Induktion dann folgere, daß es für beliebige Familien mit -Topologien gilt.

Sei und eine Familie von Topologien.

Da und Topologien sind, enthalten sie beide und , also und , somit .

Nun sei . Dann ist und . Da und Topologien, gilt und und somit auch .

Nun sei . Dann ist und . Da und Topologien, gilt und und somit auch .

Wäre die Beweisführung so in Ordnung?


Ibn Batuta
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

meines Wissens müsstest du zeigen , (endliche Durchschnitte liegen wieder in der Topologie) und (beliebige Vereinigungen liegen wieder in der Topologie).

Erledigt hast du bisher nur das erste. Von den anderen beiden Bedingungen hast du nur abgespeckte Versionen nachgeweisen.

Außerdem wirst du mit einem Induktionsbeweis nicht weit kommen, denn was ist, wenn die Indexmenge , über die ja nichts weiter vorausgesetzt ist, überabzählbar ist?
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.Außerdem wirst du mit einem Induktionsbeweis nicht weit kommen, denn was ist, wenn die Indexmenge , über die ja nichts weiter vorausgesetzt ist, überabzählbar ist?


Erstens das und zweitens hat der Beweis schon keine Gültigkeit mehr, wenn I abzählbar unendlich ist. Hier wird nur gezeigt, dass endliche Schnitte von Topologien wieder Topologien sind.
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Merlinius
Erstens das und zweitens hat der Beweis schon keine Gültigkeit mehr, wenn I abzählbar unendlich ist. Hier wird nur gezeigt, dass endliche Schnitte von Topologien wieder Topologien sind.


Deinen Einwand verstehe ich nicht. verwirrt

Bezüglich der Überabzählbarkeit muß ich noch überlegen, da ich (noch?) keine Ahnung habe, wie ich da ansetzen kann.

Ich wähle , da abzählbar unendlich. Für den Fall habe ich und die Familie. Hier ist es trivial. Für n=2 habe ich es oben schon bewiesen.

Das könnte ich ja für ein bel. machen und mittels Induktion von schließen.

Wieso funktoniert das nicht?


Ibn Batuta
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hast Du es gezeigt für alle Vereinigungen . Denn Induktion beweist "für alle gilt ...". Du hast damit aber nicht bewiesen, dass es auch für eine Vereinigung gilt. Man kann etwa eine Induktion darüber führen, dass

stets abgeschlossen ist, wenn die abgeschlossen sind.

Das heißt aber noch lange nicht, dass

abgeschlossen ist.
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Okay... Dann weiß ich nicht, wie ich das beweisen kann und nehme Tipps gerne entgegen. smile


Ibn Batuta
 
 
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

bedeutet nichts anderes als .
Also zum Beispiel: da alle Topologien sind, gilt und somit . Ganz gleich wie aussieht. Augenzwinkern

Kommst du damit weiter?
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Aha! Ich denke schon. smile

Nun seien , dann sind auch . Da Topologien, gilt . Somit liegt auch

Analog geht es dann für .

Wäre es so korrekt?


Ibn Batuta
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, denn wie gesagt, es müssen endliche Durchschnitte und beliebige Vereinigungen wieder in der Topologie - d.h. hier im Durchschnitt der liegen. Die endlichen Durchschnitte könnte man hier zwar per Induktion bekommen, so wie von dir ursprünglich für die Gesamtaussage angedacht, aber das ist wohl kaum sinnvoll.

Es ist insbesondere nicht zu zeigen, dass etwas in der Vereinigung von Topologien liegt, denn dies wird im Regelfall keine Topologie mehr sein.

Meines Erachtens sieht übrigens besser aus als .
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
Nein, denn wie gesagt, es müssen endliche Durchschnitte und beliebige Vereinigungen wieder in der Topologie - d.h. hier im Durchschnitt der liegen. Die endlichen Durchschnitte könnte man hier zwar per Induktion bekommen, so wie von dir ursprünglich für die Gesamtaussage angedacht, aber das ist wohl kaum sinnvoll.


Dann kann ich also nicht nur zwei Elemente bzw. auswählen, sondern muss zeigen.

Dann fange ich mal an.

Sei , dann liegt .
Da und damit auch ...

Ist es so korrekt? Wenn das auch nicht stimmt, bin ich mit meinem Latein wirklich am Ende...

Zitat:
Original von jester.
Es ist insbesondere nicht zu zeigen, dass etwas in der Vereinigung von Topologien liegt, denn dies wird im Regelfall keine Topologie mehr sein.


Ja, das weiß ich.. Eine Vereinigung von Topologien ist i.d.R. keine Topologie. Das kann ich auch ein Beispiel dazu konstruieren...

Zitat:
Original von jester.
Meines Erachtens sieht übrigens besser aus als .


Das stimmt. Wußte gar nicht, daß man das "big" weglassen kann. Danke!


Ibn Batuta
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ibn Batuta
Zitat:
Original von jester.
Nein, denn wie gesagt, es müssen endliche Durchschnitte und beliebige Vereinigungen wieder in der Topologie - d.h. hier im Durchschnitt der liegen. Die endlichen Durchschnitte könnte man hier zwar per Induktion bekommen, so wie von dir ursprünglich für die Gesamtaussage angedacht, aber das ist wohl kaum sinnvoll.


Dann kann ich also nicht nur zwei Elemente bzw. auswählen, sondern muss zeigen.


Das habe ich nicht geschrieben. Dass beliebige Durchschnitte offener Mengen wieder offen sind, kann man nicht erwarten. Siehe etwa in das Beispiel .

Der Beweis scheitert also an der folgenden Stelle:

Zitat:
Da


Bei Durchschnitten also nur die endliche Variante zeigen, bei Vereinigungen dann die beliebige.

Die Vorgehensweise an sich ist aber in Ordnung.
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Blöde Frage jester., aber heißt das, daß für den Durchschnitt die Indexmenge nicht beliebig, sondern eine endliche Indexmenge darstellen muß? Und für die Vereinigung kann ich die beliebige Indexmenge dann heranziehen?


Ibn Batuta
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn du also eine Topologie hast und dort eine endliche Anzahl von Mengen auswählst, muss ihr Schnitt wieder drinliegen.
Genauso wenn du irgendwelche Mengen auswählst (egal ob endlich viele oder abzählbar unendlich viele oder überabzählbar viele), dann muss ihre Vereinigung wieder drinliegen.
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Okay. Mein nächster Versuch:

Sei , dann liegt .
Da und damit auch


Sei , dann liegt .
Da und damit auch

Nun sollte es hoffentlich stimmen. smile


Ibn Batuta
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so stimmts.
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
Ja, so stimmts.


Danke für deine Hilfe, jester.!


Ibn Batuta
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