Kubischer Spline durch 5 Punkte

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Michelle92 Auf diesen Beitrag antworten »
Kubischer Spline durch 5 Punkte
Sehr geehrte Damen und Herren,

ich habe ein riesen riesen großes Problem. Ich sitze seit gut einer Woche an einem Thema, das ich präsentieren soll.

Meine Aufgabe ist es, fünf konkrete Punkte durch natürliche kubische Splines zu interpolieren

Ich habe auch bei Arndt Bruenner nachgeguckt und hier (klick). Aber ich komme einfach nicht drauf, wie ich auf 16 Funktionen kommen kann.

Meine Lehrerin meinte zu mir, dass ich je 4 Gleichungen für den rechten und linken Punkt rausbekommen solle, 3 Gleichungen für innere Punkte, bei denen die Steigung gleich ist?? und 3 Gleichungen für innere Punkte, bei denen die 2. Ableitung gleich sein soll? Und dazu soll ich noch zwei Funktionen für die linke und rechte Krümmung finden, also wie der Graph weitergehen kann.

Aber leider bin ich auch bei der WS-Polynominterpolation nicht weit gekommen, die ich dafür brauche, also ich habe hier gelesen, dass ich die brauche.

Die Punkte sind (0/0), (4/0), (1/3), (5/-1) und (8/0)

Weiß auch wie der Graph aussieht, und der Rechner von Arndt Bruenner zeigt mir nur 3 Gleichungen an...

Hoffentlich kann mir wer helfen, die 16 Gleichungen zu finden
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubischer Spline durch 5 Punkte
Hättest du halt den WS-Splineinterpolation gelesen. Augenzwinkern [WS] Spline-Interpolation - Theorie

Dort steht, wie man auf die Gleichungen kommt. Das solltest du mal erarbeiten. Dann geht es weiter.
 
 
Michelle92 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubischer Spline durch 5 Punkte
Gibt es dazu kein Muster-Beispiel wie man auf eine Funktion von zwei Punkten kommt?. Da stehen unmengen an Buchstaben, weiß gar nicht wofür die stehen, z.B. j-1 immer dadrunter.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubischer Spline durch 5 Punkte
Es ist hier halt nicht so einfach. unglücklich

Du sollst zunächst mal überlegen, wie dieser kubische Spline auf den Teilintervallen [wie viele haben wir] von der Bauart her aussieht. Buchstaben nimm halt, was dir gefällt und wo du nicht den Überblick verlierst.

Dann geht es weiter.
Michelle92 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubischer Spline durch 5 Punkte
Achso, jetzt verstehe ich das erst, dann stelle ich mal alle Bedingungen auf.. aber wenn ich eine habe, wie komme ich dann auf die Gleichung, einfach in die eine ganzrationale funktion 3.grades einsetzen?

edit:

habe 16 bedingungen raus






so habs mal eingesetzt, und die gleichungen von 5, 6, 9, 10, 13 und 14 einfach gegenüberstellen ?
Michelle92 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubischer Spline durch 5 Punkte
alles bis auf 5, 6, 9, 10, 13 und 14 habe ich dann rausbekommen

d kann man doch auch rausnehmen, da d = 0??


dann bleiben jedoch nur zwei Fragen,
wie genau kann ich die oben angeführten berechnen und was mache ich nachdem, ich alle werte in eine matrix eingegeben habe?

Danke, hilft mir enorm !!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubischer Spline durch 5 Punkte
Was ist ? Du hattest den Buchstaben ja schon in



drin. Wir haben die x Werte



Vielleicht werden die Indizes so etwas klarer im WS. Es ergeben sich die Intervalle [0,1], [1,4], [4,5] und [5,8]. Wir suchen also für einen Spline hier 4 Polynome (Restriktionen) vom Grad 3. Da einem Schnell die Buchstaben ausgehen, wurde das z.B. so notiert:



Wir fangen halt bei 0 an mti dem Zählen. Nun bitte mal nur mit der linken Seite, also die Bedingungen aufstellen. Dann haben wir formuliert, was gelten soll und man kann es auch noch überblicken. Danke.
Michelle92 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubischer Spline durch 5 Punkte
Oh, sorry, fa sollte so aussehen damit man sieht, welche Funktionen zusammengehören. Hätte auch eine 1 einstehen können oder 2.



Die Ergebnisse habe ich ja oben teilweise schon aufgeschrieben, D ist zum Beispiel bei als 0 schon eindeutig.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubischer Spline durch 5 Punkte
Also, bei uns ist n=4 [4 Intervalle] und je Restriktion haben wir 4 Freiheiten. Somit ist klar, wie deine Lehrerin auf 16 Bedingungen kommt, ja? Fangen wir links an, beziehen und nun aber auf die Restriktionen, und nicht die Punkte.

Zitat:
Punkte sind (0/0), (4/0), (1/3), (5/-1) und (8/0)




Du bist da mit den Namen was durcheinander gekommen.
Michelle92 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubischer Spline durch 5 Punkte
Zitat:
Original von tigerbine
Also, bei uns ist n=4 [4 Intervalle] und je Restriktion haben wir 4 Freiheiten. Somit ist klar, wie deine Lehrerin auf 16 Bedingungen kommt, ja? Fangen wir links an, beziehen und nun aber auf die Restriktionen, und nicht die Punkte.

Zitat:
Punkte sind (0/0), (4/0), (1/3), (5/-1) und (8/0)




Du bist da mit den Namen was durcheinander gekommen.




oder ist da etwas falsch dran?

Dachte die Bedingungen wären alle nun richtig...

Wie sie auf 16 Funktionen gekommen ist, ist mir verständlich

...oh nein, bin mit den nummerierungen durcheinander gekommen.. beim r..

R_0(0) = 0
R_0''(0) = 0
R_0(1) = 3
R_1(1) = 3
R_0'(1) = R_1'(1)
R_0''(1) = R_1''(1)
R_1(4) = 0
R_2(4) = 0
R_1'(4) = R_2'(4)
R_1''(4) = R_2''(4)
R_2(5) = -1
R_3(5) = -1
R_2'(5) = R_3'(5)
R_2''(5) = R_3''(5)
R_3(8) = 0
R_3''(8) = 0
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubischer Spline durch 5 Punkte
korrekt

Falsch. Du weißt doch nur, dass die Restriktionen hier "glatt" in einander übergehen sollen. Also

Klar?
Michelle92 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubischer Spline durch 5 Punkte


Jetzt habe ich den Fehler auch bemerkt... danke

so sieht es dann aus
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubischer Spline durch 5 Punkte
Ok. Da dir die Verfahren in der Polynominterpolation ja wohl noch fremd sind, musst du nun zu Fuß die Gleichungen aufstellen und nach die Variablen nach und nach ermitteln [ja, schön ist anders].

Hier mal ein Bild, was dann raus kommt:

[attach]18786[/attach]

Und hier die gerundete Lösung, zum Überprüfen. Denn ich kann das nun nicht mit dir durchrechnen:

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
Matrix der Restriktionen in Monom-Darstellung: 1,x,x²,x³
RM =
         0    3.5741    0.0000   -0.5741
   -0.8313    6.0679   -2.4938    0.2572
   19.1852   -8.9444    1.2593   -0.0556
   18.1564   -8.3272    1.1358   -0.0473


Lies von links nach rechts, dann lautet



Klar?
Michelle92 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubischer Spline durch 5 Punkte
Danke, werde dir mitteilen, ob ich auf genau das gleiche Ergebnis gekommen bin.
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