Ortskurve berrechnen an einem bsp.

25.03.2011, 19:12

Camora

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Ortskurve berrechnen an einem bsp.

Ich muss eine Ortskurve berrechnen, aber bleibe schon bei der ersten Ableitung hängen :S
Also die Funktion:
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{4t}x^4-3x+2 \end{eqnarray*}$

Meine Ableitung: $\begin{eqnarray*} f'(x)=tx^3 -3 \end{eqnarray*}$

Ich vermute mal meine Ableitung stimmt nicht daich nicht weiterkomme.

25.03.2011, 19:20

blödfrau

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nein ist richtig. wo hapert's denn?

25.03.2011, 19:23

Camora

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hmmm naja wenn ich die ortskurve berechnen soll muss ich doch nach x auflösen... aber ich habe hier wenn ich umforme $\begin{eqnarray*} x^3=\frac{3}{t} \end{eqnarray*}$
... wie soll ich da weitermachen?

25.03.2011, 19:41

blödfrau

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also, zuerst muss man erstmal wissen von was du die ortskurve bestimmen willst. ich gehe mal vom hochpunkt aus?

dann musst du die ableitung nach parameter a auflösen. den wert den du rauskriegst dann in die grundfunktion einsetzen.

25.03.2011, 19:41

Dopap

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RE: Ortskurve berrechnen an einem bsp.

Zitat:

Original von Camora
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{4t}x^4-3x+2 \end{eqnarray*}$

Meine Ableitung: $\begin{eqnarray*} f'(x)=tx^3 -3 \end{eqnarray*}$

immer die kleinen Fehler: $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac1 t x^3 -3 \end{eqnarray*}$

nachdem das hoffentlich geklärt ist: Welche Ortskurve?
lass mich raten: Die vom Wendepunkt, oder die vom Hochpunkt...

27.03.2011, 19:41

Camora

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ohhh :S, mir ist gerade aufgefallen dass ich die funktion falsch abgeschrieben habe. Tschuldigung. Ich versuch es mal mit der richtigen Funtion. Wenn es nicht klappt meld ich mich. Tschuldige nochmal.

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27.03.2011, 20:43

Camora

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ich hab gehofft dass es an der falschen funktion liegt aber ich komm trotzdem nicht weiter. Erstmal die richtige funktion: $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{4t}x^4 -x^2 +\frac{t}{4} \end{eqnarray*}$
und die genau Aufgebenstellung:
Für jedes t<0 ist die Funtion f* gegeben durch $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{4t}x^4 -x^2 +\frac{t}{4} \end{eqnarray*}$
Welche Kurve bilden die Tiefpunkte aller Kurven K* von f*, wenn t alle zugelassenen Werte annimmt?
Zeigen Sie, dass nicht jeder Punkt der Ortskurve Tiefpunkt von K* sein kann.

*t ist hier tiefergestellt (weiß nicht wie ich des hier machen soll unglücklich

unglücklich

)

Mein Ansatz:
$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{1}{t}x^3 -2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac{3}{t}x^2 -2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=x(\frac{1}{t}x^2 -2) \end{eqnarray*}$

durch den Satz vom Nullprodukt:

x1=0 x2= $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{t}x^2 -2) \end{eqnarray*}$

dann muss ich ja die beiden werte in f'' einsetzten... aber ich kann nicht beurteilen ob f'' positiv ocer negativ ist bzw. es hängt von t ab ob es positiv oder negativ ist. So weiß ich ja nicht ob es ein Tiefpunkt hat!!! unglücklich

unglücklich

27.03.2011, 21:34

Dopap

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Zitat:

Original von Camora
Mein Ansatz:
$\begin{eqnarray*} 0=x(\frac{1}{t}x^2 -2) \end{eqnarray*}$
durch den Satz vom Nullprodukt:
x1=0 x2= $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{t}x^2 -2) \end{eqnarray*}$

der erste Faktor = 0 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_1=0 \end{eqnarray*}$
der zweite Faktor = 0 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{t}x^2 -2=0 \Rightarrow x_2=\cdots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ schreibt man x_1

27.03.2011, 21:51

Camora

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achso, ok dann krieg ich $\begin{eqnarray*} x_2=\sqrt{2t} \end{eqnarray*}$ raus.
Aber selbs dann hängt des immer noch von t ab ob es ein Tiefpunkt ist oder nicht.

27.03.2011, 21:55

Dopap

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wenn schon, dann $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{2t} \end{eqnarray*}$

welchen Defbereich hat t ? . Was folgt daraus?

27.03.2011, 22:39

Camora

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stimmt da kommt immer ne positive Zahl raus, hatte vorher ne 1 für t eingesetzt und mein taschenrechner hat -2+3\sqrt{2} als lösung angegeben. So dumm wie ich bin habe ich bloß auf das minus geachtet und daraus geschlossen dass die lösung negativ ist.
Also weiter im Text... da f''_t(0)=-2 , ist nur x_2 ein Tiefpunkt!
Damit krieg ich den Punkt T(\sqrt{2t}/\frac{\sqrt{2t}}{4t}-\sqrt{2t}^2+\frac{1}{4})

ist es soweit richtig?

27.03.2011, 22:41

Camora

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mir ist aber gerade eingefallen dass wenn ich 100 für t in die zweite ableitung einsetze eine negative Zahl rauskommt falls $\begin{eqnarray*} x_2 =-\sqrt{2t} \end{eqnarray*}$

27.03.2011, 22:58

Dopap

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ich versteh nur Bahnhof verwirrt

verwirrt

hast du schon bemerkt, dass nur $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ Lösung ist, da der Radikant von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2t} \end{eqnarray*}$ negativ wegen t<0 ist?? Da gibt's keine Lösungen!!!

Wenn das hoffentlich klar ist, bleibt noch $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ und deine Sorgen (wegen dem t) sind auf einmal verflogen...

27.03.2011, 23:05

Camora

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ich idiot also t<0 stimmt nicht, sondern t>0 stimmt :S
und deshalb kann $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ nicht sein... da ich ein Tiefpunkt brauch und kein Hochpunkt

27.03.2011, 23:09

Camora

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habs heut irgendwie nicht so mit der technik also mein beitrag von vorhin

da $\begin{eqnarray*} f''_t(0)=-2 \end{eqnarray*}$ , ist nur $\begin{eqnarray*} x_2=\sqrt{2t} \end{eqnarray*}$ ein Tiefpunkt!
Damit krieg ich den Punkt $\begin{eqnarray*} T(\sqrt{2t}/\frac{\sqrt{2t}}{4t}-\sqrt{2t}^2+\frac{1}{4}) \end{eqnarray*}$

ist es soweit richtig?

27.03.2011, 23:19

Camora

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ok es ist definitiv nicht richtig... ich rechne nochmal

27.03.2011, 23:26

Dopap

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das kostet wieder Nerven. Warum nicht gleich so??
o.K. es gibt 2 Tiefstellen $\begin{eqnarray*} \sqrt{2t}\quad , -\sqrt{2t} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\sqrt{2t})^4=4t^2\quad und\quad \sqrt{2t}^2=2t \end{eqnarray*}$ !!!
also:
$\begin{eqnarray*} f(\pm \sqrt{2t})=-\frac 3 4 t \end{eqnarray*}$ ...

27.03.2011, 23:45

Camora

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ok, habs nachgerechnet und kriege jetzt dasselbe raus.
Ist es wirklich egal ob ich $\begin{eqnarray*} + \sqrt{2t} \end{eqnarray*}$ oder - $\begin{eqnarray*} \sqrt{2t} \end{eqnarray*}$ nehme? Kommt also immer ein Tiefpunkt für t>0 raus?

27.03.2011, 23:56

Camora

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als Ortskurve krieg ich dann: $\begin{eqnarray*} y=- \frac{3}{2}x^2 \end{eqnarray*}$

28.03.2011, 00:05

Dopap

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ja, der Graph ist symmetrisch zur y-Achse.

Also: $\begin{eqnarray*} T(\sqrt{2t}|-\frac 3 4 t) \quad t>0 \end{eqnarray*}$
ist die Parameterdarstellung der Tiefpunktkurve. [ den symmetrische Teil mal weggelassen],

nehme an, dass jetzt noch die Funktionsvorschrift der Tiefpunktkurve verlangt ist.

$\begin{eqnarray*} y_T(x)=... \end{eqnarray*}$

-------------------------------------------------
da ist schon ein neuer post:
ich hab $\begin{eqnarray*} y_T=-\frac 3 8 x^2 \end{eqnarray*}$

wer bietet mehr?
noch eine Frage offen?

28.03.2011, 00:13

Camora

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naja, da wäre noch:
Zeigen Sie, dass nicht jeder Punkt der Ortskurve Tiefpunkt von $\begin{eqnarray*} K_t \end{eqnarray*}$ sein kann.
Wie soll ich des machen ohne zu raten?

28.03.2011, 00:34

Dopap

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nun, man schaut sich das Ganze mal an...

zu $\begin{eqnarray*} y_T(x)=-\frac 3 8 x^2 \end{eqnarray*}$ fehlt noch die Definitionsmenge, sonst haben wir keine Funktion!

es galt $\begin{eqnarray*} x=\pm \sqrt{2t} \end{eqnarray*}$ mit t>0

demnach ist nicht $\begin{eqnarray*} \quad \mathbb R \end{eqnarray*}$ Definitionsmenge sondern

$\begin{eqnarray*} \mathbb D=\mathbb R\backslash \{0\} \end{eqnarray*}$

welcher Punkt fehlt demnach?

28.03.2011, 00:41

Camora

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dann ist $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ also kein tiefpunkt .?

28.03.2011, 01:40

Dopap

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Zitat:

Original von Camora
dann ist $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ also kein tiefpunkt .?

für t=0 gibt es keinen Punkt auf $\begin{eqnarray*} y_T \end{eqnarray*}$

und für x=0 hat $\begin{eqnarray*} f_t \end{eqnarray*}$ immer einen Hochpunkt.

Demnach bin ich der Meinung, dass die Frage falsch ist.

Begründung: der Fragesteller hat vielleicht nicht bedacht, dass wir beide so schlau sind und den Punkt (0|0) für t=0 entfernen würden!?!
Wenn wir aber $\begin{eqnarray*} \mathbb D=\mathbb R \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y_T \end{eqnarray*}$ genommen hätten,- was dir sicher nicht aufgefallen wäre - dann wäre die Antwort "(0|0) ist Punkt der Ortskurve aber kein möglicher Tiefpunkt" gewesen.

Zusammengefasst: so wie wir es gemacht haben ist die Frage ohne Bedeutung.

Ich hoffe du kannst mir folgen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.03.2011, 08:29

Camora

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ja ich habs verstanden,endlich, Mathe ist nicht einfach, aber ich habs verstanden Freude

Freude

,VIELEN DANK und tschuldigung für das ganze hin und her.

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