Satz von Stokes,Gauß zur Berechnung der Kugeloberfläche

26.03.2011, 00:08	chaplin	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Stokes,Gauß zur Berechnung der Kugeloberfläche Meine Frage: Hallo! Ich beschäfrige mich gerade mit den Integralsätzen und Differentialformen und habe ein kleines Problem: Eigentlich müsste ich doch ein geeignetes Vektorfeld wählen können, um die Oberfläche einer Halbkugel mit dem Satz von Stokes berechnen zu können, oder? Konkret: $\begin{eqnarray} \int_{dS}\vec{A}\;d\vec{s} = \int \int_S rot \vec{A}\; d\vec{\sigma } \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \int_{dS}Pdx + Qdy + Rdz = \int \int_S (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}) dy \wedge dz + \left (\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right )dz \wedge dx + \left (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right )dx \wedge dy \end{eqnarray}$ S ist dabei meine 2-dim Mannigfaltigkeit (Die Halbkugeloberfläche). Meine Ideen: Da ich auf der rechten Seite somit über die 1 integrieren will, wähle ich $\begin{eqnarray} R=0=P \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Q=x \end{eqnarray}$ . Leider bekomme ich mit dieser Wahl bei der Integration auf der linken Seite über den Einheitskreis (den Rand der Kugelöberfläche) nur $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ heraus. Was läuft schief?
26.03.2011, 13:52	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem ist dass du die 2-Form $\begin{eqnarray} \dd x\wedge\dd y \end{eqnarray}$ über die Halbkugeloberfläche integrierst [was du auch richtig machst], aber leider ist das nicht die Volumenform auf der [Halb-]Kugeloberfläche. Wenn du die Halbkugeloberfläche als Graph der Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x,y)=\sqrt{R^2-x^2-y^2} \end{eqnarray}$ identifizierst, dann kriegst du als Volumenform der Halbkugeloberfläche die Form $\begin{eqnarray} \Omega=\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}\dd x\wedge\dd y \end{eqnarray}$ heraus. Mit einem Koordinatenwechsel auf Polarkoordinaten $\begin{eqnarray} (r,\theta) \end{eqnarray}$ liefert das dann die Volumenform $\begin{eqnarray} \Omega=\frac{R}{\sqrt{R^2-r^2}}r\dd r\wedge\dd \theta \end{eqnarray}$ und wenn du das über $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ integrierst [ohne Stokes], bzw über das zugehörige Gebiet auf dem die Karte der Halbkugeloberfläche definiert ist, dann kriegst du $\begin{eqnarray} 2\pi R^2 \end{eqnarray}$ .
26.03.2011, 21:10	chaplin	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du die From mit dem Pull-back zurückgezogen? Oder wie bist du auf $\begin{eqnarray} \frac{R}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}} \end{eqnarray}$ gekommen? Eigentlich hab ich es auch mit dem Zurückziehen versucht, muss mich wohl verrechnet haben. Was hast du als Normalenvektor gewählt?
27.03.2011, 11:31	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe als Karte die Abbildung $\begin{eqnarray} F(x,y)=(x,y,\sqrt{1-x^2-y^2}) \end{eqnarray}$ genommen. Das $\begin{eqnarray} \frac{R}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}} \end{eqnarray}$ ist die Determinante der Gramschen Matrix zugehörig zum Standardskalarprodukt von $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ . Ich habe einfach den Satz angewandt, dass für eine lokale Karte einer n-dimensionalen [riemannschen] Mannigfaltigkeit die [riemannsche] Volumenform in dieser Karte die Form $\begin{eqnarray} \Omega=\sqrt{\det(G)}\dd x_1\wedge...\wedge \dd x_n \end{eqnarray}$ hat, wobei $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ die Gramsche Matrix ist, das heisst $\begin{eqnarray} G=\left(B\left(\frac{\partial}{\partial x_i},\frac{\partial}{\partial x_j}\right)\right)_{i,j} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ist die riemannsche Metrik. Das Ganze Prozedere ist letztlich schon ein Pullback, nämlich $\begin{eqnarray} \Omega=F^\Omega_M \end{eqnarray}$ [=Koordinatendarstellung einer Form], wenn $\begin{eqnarray} \Omega_M \end{eqnarray*}$ die leider unbekannte Volumenform bezeichnet.

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