Verschoben! Lagebeziehung zwischen Ebene und Gerade

26.03.2011, 09:45

Juliaxxy

Lagebeziehung zwischen Ebene und Gerade

Meine Frage:
Hallo,

ich hätte malwieder eine Frage:

Ich habe folgendes Beispiel gegeben:

Bestimme die Sonderlage von g zur Ebene

g:X=(2/0/7) + t * (3/2/-2)

E= y+ z=9

Wie prüfe ich die Lage?

Würde mich über baldige Antwort freuen.

PS:. Die sonderlage kann parallel, schneidend oder in der Ebene liegend sein.

_______________________________________________________________________

Julia

Meine Ideen:

Einen Schnittpunkt: schneidend
unendlich viele: auf der ebene
keine: parallel

aber wie berechne ich, wie viele Schnittpunkte es gibt?

26.03.2011, 10:25

Hubert1965

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Habe keine Angst! Schneide die Ebene erstmal ganz einfach mit der Geraden, und warte ab, was dabei passiert.
Es können nämlich drei Dinge passieren:

1) Du erhältst als Ergebnis ein einziges Koordinatentrippel. Das ist dann ein einzelner Punkt. Die Gerade schiedet die Ebene in genau diesem einem Punkt.

2) Du kannst nicht alle Variablen eliminieren. Stattdessen erhältst du als Ergebnis eine Gleichung, die "zufällig" genau die ursprüngliche Gerade beschreibt. Dann ist diese Gerade die Menge aller Schnittpunkte, sie muss also in der Ebene liegen.

3) Du bekommst eine falsche Aussage raus, also etwas, was du z.B. zu 0=1 umformen kannst. Das heißt, dass du keine Lösung rausbekommen hast, dass also die Lösungsmenge die leere Menge ist. Das bedeutet, dass Ebene und Gerade keinen Punkt gemeinsam haben, und das kann nur sein, wenn die Gerade parallel zur Ebene verläuft, wobei der Abstand ungleich 0 ist.

26.03.2011, 10:46

Juliaxxy

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Wie schneide ich die beiden?

Ich weiß wie ich zwei Parameterdarstellungen schneide (nämlich durch gleichsetzen) aber nicht wie ich eine allgemeine Form und eine Parameterdarstellung schneide.

26.03.2011, 10:57

Hubert1965

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Dann musst du eines von beiden in die andere Form umwandeln. Mein Vorschlag: Bringe die Ebene in die Parameterform.

26.03.2011, 11:08

Juliaxxy

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Könnte ich es auch ohne umwandeln machen?

Vielleicht indem ich in E= y+ z=9

für y
-3+2t

und für z
2+1t einsetzte?

26.03.2011, 11:23

Juliaxxy

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Ich habe Gerade und Ebene geschnitten und habe 4=4 herausbekommen. Was bedeutet das jetzt? Habe ich richtig gerechnet?

26.03.2011, 12:26

Juliaxxy

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Wieso antwortet mir keiner mehr traurig

26.03.2011, 18:20

Gualtiero

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Zitat:

Original von Juliaxxy
Könnte ich es auch ohne umwandeln machen?

Vielleicht indem ich in E= y+ z=9

für y
-3+2t

und für z
2+1t einsetzte?

Das wäre eine Möglichkeit, aber schau nochmal genau auf die Gerade! $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix}2 \\0 \\7 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}3 \\2 \\-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In der Ebenengleichung kommt kein x-Wert vor, das bedeutet, dass für die Definition der Ebene ausschließlich y- und z-Koordinaten entscheidend sind.

"4 = 4" kannst Du nicht herausbekommen; zeige, wie Du gerechnet hast.

29.03.2011, 09:11

Hubert1965

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Hallo Juliaxxy!

Ich entschuldige mich für mein längeres nicht-antworten. Der Grund: Ich war nicht online, weil ich berufliche Probleme zu lösen hatte. Aber jetzt habe ich wieder etwas Zeit für's Vergnügen (also für Mathe).

Du hast diese Gerade:
$\begin{eqnarray*} g:\quad \vec{x}=\begin{pmatrix}2 \\0 \\7 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}3 \\2 \\-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und du hast diese Ebene:
$\begin{eqnarray*} E:\quad y+z=9 \end{eqnarray*}$

Bleiben wir mal bei der Ebene. Wandle die Gleichung so um, dass eine Variable allein auf einer Seite des Gleichheitszeichens steht, und alles andere auf der anderen Seite. Eine Möglichkeit das zu tun, sieht so aus:
$\begin{eqnarray*} E:\quad z=9-y \end{eqnarray*}$

Falls du dir schwer tust, das x in dieser Gleichung zu sehen, schreib halt das hin, das ist ja dasselbe:
$\begin{eqnarray*} E:\quad z=0\cdot x +(-1)\cdot y + 9 \end{eqnarray*}$

Setze nun für x und y drei unterschiedliche Wertepaare ein (die drei Paare dürfen nicht auf einer Linie liegen!) und berechne die dazugehörigen z-Werte.
Drei Paare, die fast immer eine gute Wahl sind, sind:
A: x=0; y=0
B: x=1; y=0
C: x=0; y=1
(Warum ist das eine gute Wahl? - Weil du dann nur mit 0 und 1 multiplizieren musst, und damit die Chance dich zu verrechnen, stark verringerst)

Die z-Werte, die dabei herauskommen, sind:
A: x=0; y=0 -> z=9
B: x=1; y=0 -> z=9
C: x=0; y=1 -> z=8

Du hast nun also drei Punkte der Ebene berechnet, nämlich
$\begin{eqnarray*} \vec{A}=\begin{pmatrix}0 \\0 \\9 \end{pmatrix}\quad \vec{B}=\begin{pmatrix}1 \\0 \\9 \end{pmatrix}\quad \vec{C}=\begin{pmatrix}0 \\1 \\8 \end{pmatrix}\quad \end{eqnarray*}$

Die Darstellung der Ebene in Parameterform braucht einen Punkt und zwei linear unabhängige Vektoren. Als Punkt kannst du dir jeden beliebigen aussuchen, ich wähle Punkt A. Die beiden Vektoren sollten dann AB und AC sein. Das sind nämlich die Vektoren, die vom gewählten Punkt (A) zu dein beiden anderen Punkten verlaufen:

$\begin{eqnarray*} \vec{AB}=\vec{B}-\vec{A}=\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \end{pmatrix}\quad\vec{AC}=\vec{C}-\vec{A}=\begin{pmatrix}0 \\1 \\-1 \end{pmatrix}\quad \end{eqnarray*}$

Eine der unendlich vielen Möglichkeiten, die Ebene E in Parameterform darzustellen ist also:

$\begin{eqnarray*} E:\quad \vec{x}=\vec{A}+u\cdot \vec{AB}+v\cdot \vec{AC} \end{eqnarray*}$

bzw. mit den berechneten Zahlen:

$\begin{eqnarray*} E:\quad \vec{x}=\begin{pmatrix}0 \\0 \\9 \end{pmatrix}+u\cdot \begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \end{pmatrix}+v\cdot \begin{pmatrix}0 \\1 \\-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun setzt du die Gerade und die Ebene gleich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2 \\0 \\7 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}3 \\2 \\-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\0 \\9 \end{pmatrix}+u\cdot \begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \end{pmatrix}+v\cdot \begin{pmatrix}0 \\1 \\-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ergibt ein Gleichungssytem aus drei Gleichungen (jede Zeile der Vektor-Gleichung ist eine Gleichung) mit drei unbekannten (t,u,v). Und dieses Gleichungssystem hat nun entweder 0 oder 1 oder unendlich viele Lösungen.

Dieses Gleichungssystem kannst du lösen, und die Anzahl der Lösungen gibt dir darüber Auskunft, wie die Gerade in Bezug auf die Ebene im Raum liegt.

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