Dreifachintegral

26.03.2011, 14:21

intenso

Dreifachintegral

Meine Frage:
Meine Aufgabe lautet:

Berechnen Sie den Wert des folgenden Intgrals ohne Formelsammlung und Rechner:
$\begin{eqnarray*} \int_{x=0}^{1} \int_{x=-1}^4 \int_{z=0}^{\pi} \ x^2*y*cos(xz) \, dz dy dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Tja meine ideen gingen gut an aber am Ende sah schon nach Chaos aus!

Also ich fang mal an:
$\begin{eqnarray*} Das erste Integral: \int_{x=0}^{\pi}\ x^2*y*cos(xz) \, dz Rausziehen von unabhängigen Variablen von dz: x^2*y*\int_{x=0}^{\pi}\ cos(xz) \, dz Lösen des Integrals mithilfe der Substitution: t=xz z=\frac{t}{x} \frac{dz}{dt}=\frac{1}{x} (Qotientenregel) also dz=\frac{1}{x} dt ergibt: x^2*y*\int_{x=0}^{\pi}\ cos(t)*\frac{1}{x} \, dt gleich: x^2*y*\frac{1}{x}\int_{x=0}^{\pi}\ cos(t) \, dt gleich: x*y*[sin(xz)] in den Grenzen 0 und \pi also: x*y*[sin(x*\pi)] Okay, das zweite Integral: \int_{y=-1}^4 \! x*y*[sin(x*\pi)] \, dy ergibt nach Rausziehen: x*[sin(x*\pi)]\int_{y=-1}^4 \! y \, dy also: x*[sin(x*\pi)]*\frac{1}{2}*[\frac{y^2}{2}] in den Grenzen 4 und -1 als Lösung dann: \frac{15*x*sin(x*\pi)}{2} So nun das letzte Integral: \! f(x) \, dx \int_{x=0}^{1}\! \frac{15*x*sin(x*\pi)}{2}\, dx nach Rausziehen: frac{15}{2}*\int_{x=0}^{1}\! \x*sin(x*\pi)\, dx und wie gehts jetzt weiter, partielle Integration oder was? \end{eqnarray*}$

26.03.2011, 14:24

intenso

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siehe textdokument

26.03.2011, 14:26

intenso

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RE: Dreifachintegral
So jetzt bitte:

26.03.2011, 14:34

Mulder

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RE: Dreifachintegral
Du musst nur die Formeln in die Latex-Umgebung packen, geschriebene Texte dazu dann nicht mehr. Hier die korrigierte Fassung:

Zitat:

Meine Frage:
Meine Aufgabe lautet:

Berechnen Sie den Wert des folgenden Intgrals ohne Formelsammlung und Rechner:
$\begin{eqnarray*} \int_{x=0}^{1} \int_{x=-1}^4 \int_{z=0}^{\pi} \ x^2*y*cos(xz) \, dz dy dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Tja meine ideen gingen gut an aber am Ende sah schon nach Chaos aus!

Also ich fang mal an:

$\begin{eqnarray*} \int_{x=0}^{\pi}\ x^2*y*cos(xz) \, dz \end{eqnarray*}$

Rausziehen von unabhängigen Variablen von dz:

$\begin{eqnarray*} x^2*y*\int_{x=0}^{\pi}\ cos(xz) \, dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=xz z=\frac{t}{x} \frac{dz}{dt}=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ (Qotientenregel) also $\begin{eqnarray*} dz=\frac{1}{x} dt \end{eqnarray*}$

ergibt:

$\begin{eqnarray*} x^2*y*\int_{x=0}^{\pi}\ cos(t)*\frac{1}{x} \, dt \end{eqnarray*}$

gleich:

$\begin{eqnarray*} x^2*y*\frac{1}{x}\int_{x=0}^{\pi}\ cos(t) \, dt \end{eqnarray*}$

gleich:

$\begin{eqnarray*} x*y*[sin(xz)] \end{eqnarray*}$ in den Grenzen 0 und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} x*y*[sin(x*\pi)] \end{eqnarray*}$

Okay, das zweite Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{y=-1}^4 \! x*y*[sin(x*\pi)] \, dy \end{eqnarray*}$

ergibt nach Rausziehen:

$\begin{eqnarray*} x*[sin(x*\pi)]\int_{y=-1}^4 \! y \, dy \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} x*[sin(x*\pi)]*\frac{1}{2}*[\frac{y^2}{2}] \end{eqnarray*}$ in den Grenzen 4 und -1

als Lösung dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{15*x*sin(x*\pi)}{2} \end{eqnarray*}$

So nun das letzte Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{x=0}^{1}\! \frac{15*x*sin(x*\pi)}{2}\, dx \end{eqnarray*}$

nach Rausziehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{15}{2}*\int_{x=0}^{1} x*sin(x*\pi)\, dx \end{eqnarray*}$

und wie gehts jetzt weiter, partielle Integration oder was?

Edit: Sieht bis jetzt richtig aus, jetzt geht's partiell weiter, genau.

Sind nur hier und da ein paar Tippfehler bei den Grenzen drin. Und hier:

Zitat:

also: $\begin{eqnarray*} x*[sin(x*\pi)]*\frac{1}{2}*[\frac{y^2}{2}] \end{eqnarray*}$ in den Grenzen 4 und -1

ist ein Faktor 1/2 zuviel, wie ich das sehe. Im folgenden taucht er dann aber nicht mehr auf.

26.03.2011, 14:41

intenso

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RE: Dreifachintegral
wi integriere ich denn :

sin(x*pi) ohne die Formelsammlung zu benutzen?

26.03.2011, 14:42

Mulder

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RE: Dreifachintegral
Genau so wie du oben schon cos(xz) integriert hast. Du kannst doch einfach substituieren.

26.03.2011, 14:54

intenso

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RE: Dreifachintegral
also meine Susbtitutin lautet dann:
$\begin{eqnarray*} t=x*\pi x=\frac{t}{\pi} \frac{dx}{dt}=\frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$

also sieht mein integral dann so aus:
$\begin{eqnarray*} \int_{x=0}^1 \! x=\frac{t}{\pi} * sin(t)* \frac{1}{\pi} \, dt \end{eqnarray*}$

26.03.2011, 14:56

intenso

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RE: Dreifachintegral
E: Dreifachintegral

also meine Susbtitutin lautet dann:
$\begin{eqnarray*} t=x*\pi x=\frac{t}{\pi} \frac{dx}{dt}=\frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$

also sieht mein integral dann so aus:
$\begin{eqnarray*} \int_{x=0}^1 \! \frac{t}{\pi} * sin(t)* \frac{1}{\pi} \, dt \end{eqnarray*}$

so meinte ich aber wie mache ich weiter

26.03.2011, 15:07

intenso

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RE: Dreifachintegral
so doch oder :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi^2} \int_{x=1}^{0} \! t*sin(t) \, dt \end{eqnarray*}$
also hab ich raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi^2}*(t*-cos(t)+sin(t)) \end{eqnarray*}$

aber was ist mit meinen grenzen?

26.03.2011, 15:11

Mulder

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RE: Dreifachintegral
Entweder du führst eine Rücksubstitution durch oder du substituierst die Grenzen mit. Das hier:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi^2} \int_{x=1}^{0} \! t*sin(t) \, dt \end{eqnarray*}$

ist zumindest formal falsch, denn die Grenzen beziehen sich auf die alte Variable x, du hast aber bereits eine neue Variablen eingeführt, wodurch sich auch die Grenzen ändern. Das gibt in einer Klausur Punktabzüge!

Zudem hast du da jetzt 0 und 1 irgendwie vertauscht!?

26.03.2011, 15:16

intenso

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RE: Dreifachintegral
okay wenn ich rücksubstituiere:

hab ich ja:

\frac{15}{2} [\frac{sin(\pi*x-\pi*x*cos(\pi))}{\pi^2}] in den Grenzen 1 und 0 ?

Muss ich jetzt einfach einsetzen und ausrechnen?

26.03.2011, 15:18

intenso

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RE: Dreifachintegral
Also so:

[latex]

\frac{15}{2} [\frac{sin(\pi*x-\pi*x*cos(\pi))}{\pi^2}] in den Grenzen 1 und 0 ?

[\latex]

26.03.2011, 15:21

intenso

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RE: Dreifachintegral
jetzt aber:

$\begin{eqnarray*} \frac{15}{2} [\frac{sin(\pi*x-\pi*x*cos(\pi))}{\pi^2}] \end{eqnarray*}$
in den Grenzen 1 und 0 ?

26.03.2011, 15:33

intenso

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RE: Dreifachintegral
Okay die Lösung ist dann :

$\begin{eqnarray*} -\frac{15}{2*\pi} \end{eqnarray*}$

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