Nichlineare Optimierung |
| 26.03.2011, 15:12 | piloan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Nichlineare Optimierung ich will nur mal kurz eure Meinung zu dieser kurzen Zusammenfassung zur Existenz von Minimalstellen in einem nichtlinearen Programm. Liegt ein konvexes Programm ohne Restriktionen vor so gilt. Zunächst gilt bei konvexen Programmen, d.h. die zulässige Menge und die Zielfunktion snd konvex und die Menge ist ungleich der leeren Menge, das jedes lokale Minimum auch ein globales ist. Das kann man mithilfe der Konvexität der Zielfunktion zeigen. Nun haben wir Minimalstellen mithilfe des Subgradienten klassifiziert. Liegt ein konvexes Programm vor und die zulässige Menge sei nicht leer. Dann ist a ein Minimum von f, genau dann wenn f ein Subgradienten S an a hat mit für alle , wobei P die zulässige Menge und f die konvexe Funktion sei. Falls [laetx] P[/latex] offen ist, so ist a optimal genau dann wenn . Falls die Funktion dazu diffbar ist, kann man die gleichen Aussagen erhalten und ersetzt den Subgradienten durch den Gradienten. Warum muss dieser Unterschied zwischen offener Menge und absgeschlossener Menge und diffba gemacht werden? Falls man ein konvexes Programm maximieren mochte, ist dieses Programm äquivalent zu einer Minimierung einer konkaven Funktion. Hier gilt nur eine Richtung. Aus einem optimalen Wert für das Maximierungsproblem muss folgen, dass für alle x in P. |
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| 26.03.2011, 15:27 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Auf die schnelle.
Meinung: Ich erkenne nicht den Faden. Wichtig wäre mir hier die aktuellen Annahmen über die Differenzierbarkeit mehr zu transportieren. Wenn zulässige Mengen offen sind, ist das Problem lokal unrestringiert. Die Stelle mit S=0 verstehe ich nicht. Den Subgradienten führt man ein für nichtdiffbare Stellen. Man bestimmt zu diesen Stellen dann das Subdifferential. Wichtig ist, dass in einem Minimum die "0" im Subdifferential ist. |
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| 26.03.2011, 15:42 | piloan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wir haben als Kriterien fuer ein Minimum den Subgradienten bzw. den Gradienten vorgestellt bekommen. Einerseits wurde zwischen offenen zulässigen Mengen unterschieden. Hier sollte ein Subgradient S=0 sein. Ansonsten gilt die Gleichung S(x-a)>=0. Das gleiche gilt jeweils, wenn f differenzierbar ist. Von der Vorstellung macht der Subgradient doch dann was aehnliches wie der Gradient, oder ? |
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| 26.03.2011, 15:54 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Diese Aussagen sind nicht gleichwertig. Die erste beschreibt das, was ich sagte. 0 muss im Subdifferential (Menge alles Subgradienten) sein. 
Hier geht es ja darum eine Verallgemeinerung der Gradientenbedingung für nicht diffbare Funktionen zu finden. Offene Menge, weil dann unrestringiertes Problem (zumindest lokal) und das ist das Entscheidende für die Optimalitätskriterien. |
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| 27.03.2011, 17:13 | piloan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, danke. Und den Subgradienten kann man sich doch als Ebene vorstellen, die komplett unter dem Graphen liegt, oder ? Kann man sich das geometrisch klarmachen, warum man unterscheiden muss, ob offene oder abgeschlossene Mengen vorliegen ? |
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| 27.03.2011, 17:18 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ein Subgrandient ist ein spezieller Vektor. Für Funktionen von IR nach IR kann man dies schön anschaulich machen, als STeigungen von Geraden. Man hat hier ja keine "Tangente" als Visualisierung der "Ableitung".
Verstehe ich nicht. Dies dient doch der Fallunterscheidung: restringierte versus unrestringierte Optimierung. Und die restringierte wird dann interessant, wenn der Punkt auf dem Rand liegt. |
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| 27.03.2011, 19:16 | piloan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mir war das nicht ganz klar, da wir für restringierte Probleme noch weitere notwendige Kriterien, wie Fritz John u KKT eingeführt hatten. |
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| 27.03.2011, 19:18 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und was benötigen diese Kriterien? Differenzierbarkeit!
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| 28.03.2011, 10:15 | piloan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Nichlineare Optimierung Ich versuchs nochmal zusammen zu fassen. In der unrestringierte Optimierung wird der Gradient zur Klassifikation von Minimalstellen herangezogen. In der restringierten Optimierung wird das Gradientenverfahren durch das Subgradientenverfahren verallgemeinert, da die Differenzierbarkeit gerade am Rand nicht durchführbar ist. Um verwendbare notwendige Bedingungen bei restringierten Programmen zu erhalten wird z.B. bei Fritz John oder KKT wenigstens die diffbarkeit an den bindenden Nebenbedingungen gefordert. |
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| 28.03.2011, 10:16 | piloan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmhmhm ... irgendwie hab ich den Beitrag an die falsche Stelle im Baum eingefügt. Nochmal Ich versuchs nochmal zusammen zu fassen. In der unrestringierte Optimierung wird der Gradient zur Klassifikation von Minimalstellen herangezogen. In der restringierten Optimierung wird das Gradientenverfahren durch das Subgradientenverfahren verallgemeinert, da die Differenzierbarkeit gerade am Rand nicht durchführbar ist. Um verwendbare notwendige Bedingungen bei restringierten Programmen zu erhalten wird z.B. bei Fritz John oder KKT wenigstens die diffbarkeit an den bindenden Nebenbedingungen gefordert. |
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| 28.03.2011, 13:09 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein. Optimierung ist doch ein Überbegriff für ganz viele Probleme und drückt doch nur aus, dass man lokale Minima sucht. Nun kann man die Probleme versuchen genauer zu beschrieben. Bausteine sind unrestringiert oder restringiert? differenzierbar oder nicht differenzierbar? Das kann auch kombiniert auftreten. unrestringiert + differenzierbar (ggf. 2mal) => Wie aus der Analysis gewohnt Gradient, Hesse .... restringiert + differenzierbar => KKT unrestringiert + nicht differenzierbar => nichtglatte Analysis => Subdifferential |
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| 28.03.2011, 13:13 | piloan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
OK, danke für die Hilfe. |
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| 28.03.2011, 13:16 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bitte.
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