Komplement ist wirklich Komplement |
| 26.03.2011, 15:21 | steviehawk | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Komplement ist wirklich Komplement Wie kann ich zeigen, dass ein Komplement wirklich ein Komplement ist?? Im vierdimensionalen Raum habe ich ein Unterraum U dessen Dimension 2 ist, dann hat das Komplement auch dim(W) =2. Die direkte Summe ist also wirklich der ganze Raum. Aber wie kann ich zeigen, dass der Schnitt der beiden trivial ist bzw nur den Nullvektor enthält?? Meine Ideen: Für u aus U gilt u ist nicht in W wenn es ungleich 0 ist. Und für w aus W gilt w ist nicht in U wenn es ungleich 0 ist. und weiter? |
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| 26.03.2011, 15:30 | steviehawk | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Komplement ist wirklich Komplement ich könnte es doch so zeigen oder? ist u in U dann gibt es eine LK aus Basis von U für u. Es darf dann aber keine LK für u aus der Basis von W geben. Wenn ich also zeigen kann, dass die Gleichheit der beiden aufgespannten Unterräume keine Lösung hat, bzw nur die Lösung, dass alle Alpha = 0 sind, habe doch gezeigt, dass ausser dem Nullvektor kein u in W und kein w in U liegen kann... stimmt? 
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| 26.03.2011, 15:46 | Merlinius | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also Du definierst doch das Komplement so, dass der Schnitt nur den Nullvektor enthält. Vielleicht gibst Du erstmal Deine Definition eines Komplements. Ansonsten lässt sich Dein 4-dimensionaler VR ja aufspannen durch eine Basis Wenn jetzt der Unterraum U die Dimension 2 hat, dann wird U offenbar von genau zwei dieser Basisvektoren aufgespannt, und das Komplement W natürlich von den anderen beiden. Jetzt lassen sich je zwei Vektoren aus U bzw. W als Linearkombination der jeweiligen zwei Basisvektoren darstellen. Sind die beiden gleich, ergibt sich sofort aus der linearen Unabhängigkeit der , dass beide der Nullvektor sein müssen. |
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| 26.03.2011, 15:49 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » |
So ganz passt das nicht Merlinius. Deine Basis muss ersteinmal nichts mit dem Unterraum U zu tun haben. Der könnte auch "quer" liegen. Aber man kann so eine Basis wählen. Man nehme ein beliebige Basis von U und eine beliebige Basis von W. Dann vereinigt man die beiden und überprüft ob das wieder linear unabhängig ist. Falls ja so sind die Räume disjunkt(bis auf die 0) |
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| 26.03.2011, 16:36 | Merlinius | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du hast natürlich Recht. |
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