rekursionsformel des integrals

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26.03.2011, 15:23	abii_55	Auf diesen Beitrag antworten »
rekursionsformel des integrals Meine Frage: hallo miteinander habe ne funktion bekommen die ich integrieren muss, jedoch komme ich leider nicht zurecht $\begin{eqnarray} \int_a^b \! x^{n} sin x \, dx \end{eqnarray}$ es ist das unbestimmte Integral gesucht, ich wusste nicht wie ich es ohne grenzen einfügen kann. Meine Ideen: hab erstmal partiell integriert, $\begin{eqnarray} \int_a^b \! x^{n} sin x \, dx=-x^{n-1}cosx + n\int_a^b \! x^{n-1} cos x \, dx \end{eqnarray}$ dann aber komme ich nicht mehr weiter ... danke schon mal für jede hilfe
26.03.2011, 18:01	schultz	Auf diesen Beitrag antworten »
deine partielle integration ist falsch...die ableitung, also x^(n-1), kommt erst hinten im integral. dann wird einfach weiter partiell integriert, bis du hinten nur noch x^(n-n), also x^0=1 hast, dann ist das letzte integral trivial
27.03.2011, 10:13	Abi_55	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja sry, da sollte nur n hin... Danke für deine antwort , aber hab leider nicht verstanden was du meinst
27.03.2011, 14:58	schultz	Auf diesen Beitrag antworten »
na auf das integral was bei der partiellen integration rauskommt ( $\begin{eqnarray} n\int_a^b \! x^{n-1} cos x \, dx \end{eqnarray}$ ) musst du nochmals partielle integration anwenden
27.03.2011, 17:42	Abi_55	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm... Aber wenn ich da das integral bilde ist ja noch mal ein teil dabei was integriert werden muss... Es wird dann immer so weiter gehen...
27.03.2011, 20:49	schultz	Auf diesen Beitrag antworten »
genau, so lange bis das x^n verschwunden ist...also genau n mal
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27.03.2011, 20:53	Abii_55	Auf diesen Beitrag antworten »
und wie formuliere ich dann das ergebnis als rekursionsformel?
27.03.2011, 21:28	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Führe eine weitere partielle Integration durch. Dann sollte unter anderem ein Integral der Form $\begin{eqnarray} \int x^{n-2} sin x \; dx \end{eqnarray}$ entstehen. Benennst Du nun dein Anfangsintegral mit I(n) und das entstandene Integral entsprechend, so hast Du die Rekursion gefunden.
27.03.2011, 21:43	Abii_55	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_a^b \! x^{n} sinx \, dx=I(n)=-x^{n} cosx+n(x^{n-1} sinx-(n-1)I(n-2) \end{eqnarray}$ stimmt das?
27.03.2011, 21:56	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht gut aus Die Klammer vor dem $\begin{eqnarray} x^{n-1} \end{eqnarray}$ müsste aber noch zugemacht werden, wobei auszumultiplizieren noch einen Schritt besser wäre.
27.03.2011, 22:00	Abii_55	Auf diesen Beitrag antworten »
kann mann es noch kürzer darstellen?
27.03.2011, 22:02	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Theoretisch kannst Du im ersten Teil noch $\begin{eqnarray} x^{n-1} \end{eqnarray}$ ausklammern, aber viel kürzer macht es den Term nicht.
27.03.2011, 22:18	Abii_55	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmm... warum komme zb. beim integrieren von \int \! cos^{2}x \, dx ein eindeutiges ergebnis raus und bei dieser nicht??
27.03.2011, 22:20	Abii_55	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int \! cos^{2}x \, dx \end{eqnarray}$
27.03.2011, 22:23	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil $\begin{eqnarray} x^n \end{eqnarray}$ nicht periodisch ist.
27.03.2011, 22:26	Abii_55	Auf diesen Beitrag antworten »
was bedeutet dieser begriff?
27.03.2011, 22:42	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Funktion heisst periodisch, wenn sich in gewissen Abständen (der Periode T) ihre Funktionswerte wiederholen. Die Cosinus- und Sinusfunktion hat beispielsweise die Periode $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} cos(x+2\pi)=cos(x) \end{eqnarray}$ . Dies führt dazu, dass sich auch die Ableitungen periodisch verhalten. Ich merke aber gerade, dass die Periodizität nicht entscheiden ist, sondern vielmehr die Tatsache, dass sich die Ableitungen wiederholen. Nur dadurch kann sich die partielle Ableitung "im Kreis" drehen und auf das Anfangsintegral zurückgeführt werden.
27.03.2011, 22:47	Abii_55	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine erklärung vorhin meintest du $\begin{eqnarray} x^{n-1} \end{eqnarray}$ könnte im ersten teil ausgeklammert werden, wäre es nich besser wenn man nur $\begin{eqnarray} x^{n} \end{eqnarray}$ ausklammert?
27.03.2011, 22:52	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir reden doch jetzt von folgendem Term: $\begin{eqnarray} I(n)=-x^{n} cosx+nx^{n-1} sinx-n(n-1)I(n-2) \end{eqnarray}$ Nun ist aber $\begin{eqnarray} x^{n-1}=x^nx^{-1} \end{eqnarray}$ , was also beim Ausklammern zu $\begin{eqnarray} x^{-1} \end{eqnarray}$ wird. Nicht wirklich eine Erleichterung, oder?
27.03.2011, 22:58	Abii_55	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt.. hab ich auch grad ausprobiert... DANKE dir vielmals ... hast mir wirklich sehr weitergeholfen ...

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