Koordinaten und Mantelfläche einer dreiseitigen Pyramide

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nanetschka Auf diesen Beitrag antworten »
Koordinaten und Mantelfläche einer dreiseitigen Pyramide
Hallöchen,
ich quäle mich schon seit Stunden mit einer Aufgabe und komm einfach nicht auf die richtige Lösung.
Gegeben sind 3 Punkte: A (4;2;10), B (2);2;10) und C (3;3;8), die ein Verankerungsdreieck eines Kranarms bilden, von dessen Spitze S (diese Koordinaten sind zu berechnen) das Kranseil hängt.
Bevor es um die Bestimmung der Koordinaten der Spitze S geht, wird noch angegeben, dass die Deckfläche ASB des Kranarms senkrecht auf dem Verankerungsdreieck ABC steht; die Strecken AS und BS jeweils 9 m lang sind und der Punkt S höher liegt als der Mittelpunkt M der Strecke AB (den habe ich bereits ausgerechnet -> M (3;2;10))
Kontrollergebnis für S ist (3;10;14)
Dann soll noch die Mantelfläche des Körpers ABCS ausgerechnet werden, wobei ABC die Grundfläche sei.

Ich dachte nun, ich stelle aus den gegebenen Informationen ein Gleichungssystem auf:
I MC * MS = O (da ja das Dreieck ABC senkrecht zu ABS sein soll)
wenn ich das umstelle, komme ich auf y - 2z = -18
II /AS/=9 und III /BS/=9 subtrahiert führt mich zu (x-4)^2 - (x-2)^2 = 0 und durch umstellen komme ich dann auch auf x=3 (was ja auch stimmt)

und nun??? irgendwie komme ich einfach nicht weiter...
wenn ich II oder III mit I addiere und dann da mein Ergebnis für x einsetze, komme ich auf y- und z-Werte, die nicht stimmen (laut Kontrollergebnis) - wo liegt also mein Denkfehler bzw. was muss ich nun rechnen?

Zu den Flächeninhalten der Dreiecke: geht das nur über das Kreuzrprodukt oder gibt es auch einen anderen Weg?

Vielen Dank!

nanetschka
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Bedingung



genügt nicht, um die Normalenrichtung der Ebene zu bestimmen. Du brauchst dazu eine zweite Gleichung, zum Beispiel



Ich würde auch gar nicht schreiben, sondern einfach . Dann kannst du aus



den Normalenvektor bis auf ein skalares Vielfaches eindeutig bestimmen. In der ersten Bedingung könntest du übrigens durch ersetzen. Entscheidend ist nur, daß ein Normalenvektor der Ebene ist. Und dazu muß auf irgend zwei linear unabhängigen Richtungsvektoren der Ebene senkrecht stehen. Das ist alles.
Wenn du das Vektorprodukt kennst, kannst du auch einfach



nehmen und den Skalar so wählen, daß möglichst einfache Koordinaten bekommt.

Der Rest ist ebene Geometrie. Die Besonderheit des Dreiecks ist seine Gleichschenkligkeit. Du kannst daher die Höhe auf der Basis mit Pythagoras berechnen (die Länge der Strecke ist zuvor schnell ermittelt). Und wenn du hast, dann mußt du nur an den Punkt ein passendes Vielfaches von ansetzen. Dieses Vielfache muß genau die Länge besitzen. Das geht so: Erst normieren, also auf die Länge bringen, dann mit strecken. Dabei kannst du diesen Normalenvektor der Länge in zwei Richtungen ansetzen. Wenn ich die Forderung, daß "höher" als liegt so verstehe, daß die Höhe durch die -Koordinate angegeben wird, dann mußt du von den beiden Möglichkeiten für diejenige wählen, bei der die -Koordinate größer als (das ist die -Koordinate von ) ist.
 
 
nanetschka Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold,
vielen Dank erst einmal.
Leider verstehe ich deine Antwort nicht ganz.
Wenn ich richtig verstehe, kann ich die Koordinaten von S ausrechnen, indem ich den auf der Ebene ABC senkrecht stehenden (Normalen)Vektor MS berechne.
Das habe ich versucht und bin bis zu der Stelle mit dem Strecken des normierten Normalenvektors gekommen. Meint Strecken, dass ich n * h rechne? Und was meinst du mit den beiden Richtungen von h? An der Stelle komme ich nicht mehr mit - sorry.
Auch wenn ich das Vektorprodukt verwende, komme ich nicht bis zum Ende... könntest du mir da noch einmal weiterhelfen?
Danke
VG nanetschka
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Als Normalenvektor von habe ich in einfachster Form



erhalten. Dieser Normalenvektor hat die Länge . Wenn ich ihn nun an anhänge, komme ich zu Ortsvektoren



von Punkten, die auf der Höhengeraden von im Dreieck liegen (dieses ist ja gleichschenklig) und den Abstand von haben. Der Punkt liegt auch auf dieser Höhengeraden, er hat aber von den Abstand , wobei ich mit die Länge der Höhe von meine. Du kommst also zu den möglichen Punkten , indem du einen Normalenvektor der Länge anhängst. Dazu mußt du den alten Normalenvektor durch dividieren (jetzt hat er die Länge ) und mit multiplizieren (jetzt hat er die Länge ):



Jetzt beginne damit, zu berechnen. Und da brauchst du nur den Satz des Pythagoras, keine Vektorgeometrie. Berechne zuvor mit der Vektorrechnung.
nanetschka Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke!
H hatte ich bereits ausgerechnet und wenn ich meinen um h gestreckten, normierten Normalenvektor mit M addiere erhalte ich auch das S, das mir das Kontrollergebnis vorgibt!
Irgendwie war es aber doch recht verwirrend, bis ich zum Endergebnis gekommen bin - gibt es denn keinen einfacheren Weg? (Sorry, will nicht undankbar erscheinen - aber darauf wäre ich im Ernstfall wirklich NIE gekommen)
VG nanetschka
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch ein einfacher Weg: Man hängt an einen Vektor einen andern an, der einen in eine vorgegebene Richtung eine vorgegebene Streckenlänge weit führt. Das ist ja gerade der Sinn eines Vektors.

Was war zu tun?

1. Die Vektoren und berechnen und mit ihnen einen Normalenvektor der Ebene bestimmen.
Das ist eine Standardaufgabe. Tausendmal gemacht. Zeit: 2 Minuten

2. Die Länge des Vektors berechnen.
Bei den vorgegebenen Daten konnte man die Länge des Vektors sogar ohne jede Rechnung ablesen. Zeit: 0 Sekunden.

3. In einem gleichschenkligen Dreieck bei bekannter Basis und Schenkellänge die Höhe ausrechnen.
Das ist Elementargeometrie der Mittelstufe eines jeden deutschen Gymnasiums. Zeit: 1 Minute

4. Den Normalenvektor auf die richtige Länge strecken und anhängen. Zeit: 2 Minuten.
Da muß man einen Skalar ausrechnen und Vektoren addieren.

Und um auf das Ganze mit Skizze usw. zu kommen: 10 bis 15 Minuten zum Nachdenken.

Gesamtzeit: höchstens 20 Minuten

Man braucht hier keine Ebenengleichung, keine Geradengleichung, muß kein lineares Gleichungssystem lösen, was ja immer zeitintensiv und rechenfehleranfällig ist.

Nenne mir einen kürzeren Weg.
nanetschka Auf diesen Beitrag antworten »

Hab das ganze jetzt auch noch einmal für mich in Reinform geschrieben und es sieht tatsächlich gar nicht mehr so schlimm aus - war am Anfang für mich nur ein absolutes Chaos, aber ich hab's jetzt wirklich verstanden! 1000 Dank!

Darf ich dich noch mal wegen meiner 2. Frage anhauen, dem Flächeninhalt von allgemeinen Dreiecken: mach ich das immer mit dem Vektorprodukt oder geht das auch ohne?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du machst das mit der Methode, die angemessen ist. Wenn du schon Grundseite und Höhe hast, wie bei , dann brauchst du kein Vektorprodukt. Für die beiden anderen Manteldreiecke würde sich das Vektorprodukt anbieten, da es zu aufwendig wäre, Grundseiten und Höhen zu berechnen.
nanetschka Auf diesen Beitrag antworten »

DANKE und noch einen schönen Abend!
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