Stetigkeit

26.03.2011, 17:06

Gast11022013

Stetigkeit

Meine Frage:
Doofe Frage, aber ist diese Funktion stetig?

$\begin{eqnarray*} f: V\to \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(r\cdot \cos(\phi), r\cdot \sin(\phi)) \end{eqnarray*}$

[wobei $\begin{eqnarray*} 0<r<R, 0<\phi<2\pi \end{eqnarray*}$ ]

Meine Ideen:
Naja, das scheinen ja die Polarkoordinaten für einen Punkt im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ zu sein und diese werden ja durch f wieder einem Punkt zugeordnet, ich denke mal, das ist eine stetige Abbildung.

26.03.2011, 17:09

system-agent

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Ich nehme mal an, dass $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ist?

Jedenfalls kannst du über die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nichts sagen. Es wurde nur ein Koordinatenwechsel in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ gemacht, aber das hat nichts mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zu tun.

26.03.2011, 17:13

Gast11022013

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Edit:
Ich habe gerade gesehen: $\begin{eqnarray*} V\subset \mathbb R^d, f: V\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Kann man jetzt Aussagen über die Stetigkeit machen?
Bzw. eigentlich muss ich für Fubini ja wissen, ob die Funktion meßbar ist.
Ich würde sagen, dass die Funktion meßbar ist, denn nimmt man die Borelmengen aus R so ist das Urbild doch eine lebesgue-meßbare Menge.

Ich hab mich nur gefragt:

Beim Transformationssatz hat man ja ein mehrdimensionales Integral am Ende.
Und da habe ich mich gefragt, ob man da die Reihenfolge egal ist, deswegen wollte ich Fubini anwenden und da muss die funktion ja u.a. meßbar sein.

Oder darf man beim Transformationssatz sowieso immer die Reihenfolge der Integrale beliebig wählen?

26.03.2011, 19:44

system-agent

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Zitat:

Original von Dennis2010
Edit:
Ich habe gerade gesehen: $\begin{eqnarray*} V\subset \mathbb R^d, f: V\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Aha. Nun macht alles keinen Sinn mehr für $\begin{eqnarray*} d\neq2 \end{eqnarray*}$ . Hier schreibst du dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ Zahlen nimmt und daraus eine Zahl produziert. Mit dem Vorigen hast du geschrieben dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zwei Zahlen nimmt [nämlich $\begin{eqnarray*} r\cos(\phi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r\sin(\phi) \end{eqnarray*}$ ] und daraus eine Zahl produziert.

Zitat:

Original von Dennis2010
Kann man jetzt Aussagen über die Stetigkeit machen?

Nein.

Zitat:

Original von Dennis2010
Bzw. eigentlich muss ich für Fubini ja wissen, ob die Funktion meßbar ist.
Ich würde sagen, dass die Funktion meßbar ist, denn nimmt man die Borelmengen aus R so ist das Urbild doch eine lebesgue-meßbare Menge.

Das würde mich interessieren wie du das folgerst wenn über $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ überhaupt nichts bekannt ist. Was zb. falls ich $\begin{eqnarray*} d=2 \end{eqnarray*}$ nehme und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die charakteristische Funktion der Vitali Menge? Dann ist das sicher nicht messbar.

Zitat:

Original von Dennis2010
Beim Transformationssatz hat man ja ein mehrdimensionales Integral am Ende.
Und da habe ich mich gefragt, ob man da die Reihenfolge egal ist, deswegen wollte ich Fubini anwenden und da muss die funktion ja u.a. meßbar sein.

Oder darf man beim Transformationssatz sowieso immer die Reihenfolge der Integrale beliebig wählen?

Was für eine Reihenfolge bei was für einer Transformation?
Der Transformationssatz vertauscht keine Integrale, er sagt dir im Wesentlichen wie sich das Integral unter Koordinatenwechseln verhält.

26.03.2011, 22:32

BanachraumK_5

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Zitat:

Doofe Frage, aber ist diese Funktion stetig? $\begin{eqnarray*} f: V\to \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(r\cdot \cos(\phi), r\cdot \sin(\phi)) \end{eqnarray*}$

Ist V Teilmenge von R^2 ??

Die Frage die du dir stellen solltest ist doch ob f integrabel bzgl. des Produktmaßes ist; Und dies speziell weil du anscheinend mit Fubini arbeiten möchtest?!

Natürlich muss f dann auch meßbar sein.

Zitat:

Oder darf man beim Transformationssatz sowieso immer die Reihenfolge der Integrale beliebig wählen?

Insofern einer der Terme integrabel ist also $\begin{eqnarray*} f \circ \phi \vert det \phi' \vert \end{eqnarray*}$ oder f so darft du Fubini anwenden und somit auch die Vertauschungsregel. Du kannst dennoch auch den Transformationssatz benutzen um zu zeigen, dass ein Integral nicht existiert.

27.03.2011, 12:03

Gast11022013

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Ich habe nur manche Beispiele gesehen, bei denen man den Transformationssatz angewendet hat und dann anscheinend auch gleich Fubin, d.h., man hat das Integral über einem Produkt sofort "aufgetrennt" in zwei oder mehr Integrale und die Integrale vertauscht. Dort stand aber nie ein Hinweis, dass man Fubini auch tatsächlich anwenden darf.

Das hat mich halt verwirrt.

Das bedeutet also: Wenn man den Transformationssatz angewandt hat, muss man erst noch kontrollieren, ob man auch den Satz von Fubini anwenden kann, d.h., ob die Funktion unter dem Integral meßbar und integrierbar bzgl. des Produktmaßes ist?

27.03.2011, 13:04

BanachraumK_5

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Zitat:

Das bedeutet also: Wenn man den Transformationssatz angewandt hat, muss man erst noch kontrollieren, ob man auch den Satz von Fubini anwenden kann, d.h., ob die Funktion unter dem Integral meßbar und integrierbar bzgl. des Produktmaßes ist?

Naja schreib mir mal eine Funktion hin welche nicht meßbar ist. ;-)

Es genügt zu wissen dass einer der beiden Terme, also

$\begin{eqnarray*} (f \circ \varphi) \vert \det \varphi' \vert \end{eqnarray*}$ oder eben f integrabel bzgl. des Produktmaßes ist, denn dann folgt die Meßbarkeit automatisch. Es ist auch relativ schwer eine nicht meßbare Funktion zu konstruieren (Vitali).

Wenn dass dann erfüllt ist kannst du Fubini anwenden. Oder du wendest Fubini eben per Widerspruch an wie ich es dir bereits ausführlich im anderen Artikel dagelegt habe.

Schreib dir doch mal am Besten Tonelli, Fubini und Transformationssatz sauber auf und schau dir genau die Vorraussetzungen an!

Zitat:

man hat das Integral über einem Produkt sofort "aufgetrennt" in zwei oder mehr Integrale und die Integrale vertauscht

Naja um Fubini anzuwenden müßen nuneinmal die Vorraussetzungen erfüllt sein! Vlt. hast du nicht genau genug gelesen.

28.03.2011, 13:24

Gast11022013

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Aus der Integrierbarkeit einer Funktion folgt die Meßbarkeit?

Ist das immer so?...

28.03.2011, 13:31

system-agent

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Ja, denn das Lebesgue-Integral ist nur für messbare Funktionen definiert.

28.03.2011, 13:34

Gast11022013

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Das bedeutet, dass man für den Satz von Fubini zuerst kontrollieren sollte, ob die Funktion bezüglich des Produktmaßes integrierbar ist (z.b. mithilfe von Tonelli). Dann folgt auch, dass sie meßbar ist und man kann Fubini anwenden?

28.03.2011, 13:49

BanachraumK_5

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Zitat:

Naja schreib mir mal eine Funktion auf die nicht meßbar ist. Augenzwinkern

Du solltest dir bzgl. der Meßbarkeit nicht allzu viele Gedanken machen, es sei denn du siehst irgendetwas vom Auswahlaxiom oder der Vitalischen Menge.

Tonelli ist ein hinreichendes Kriterium für die Integrierbarkeit bzgl. des Produktmaßes, insofern hast du Recht. Wie gesagt mach dir mit der Meßbarkeit mal nicht allzu viele Sorgen.

Wie wäre es wenn du es mal sauber aufschreibst und dir klarmachst? DU kannst auch hier gerne posten, denn es gibt in der Tat allerlei verschiedene Versionen von Tonelli, wie eine Sichtung im Königberger und auf Wiki zeigen. geschockt

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