Transf.satz und Fubini

26.03.2011, 18:15	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Transf.satz und Fubini Meine Frage: Mal eine Frage zum Zusammenhang zwischen dem Transformationsasatz und Fubini: Sehe ich das richtig, dass man beim Transformationssatz ein Integral über einem Produkt enthält und dass man dann - sofern alle Voraussetzungen für den Satz von Fubini gegeben hat, d.h. f ist messbar und bezüglich des Produktmaßes integrierbar (evtl. dafür Tonelli anwenden) - den Satz von Fubini anwenden kann, sprich: Man kann das Integral in mehrere Integrale aufteilen bzw. man die Integrale auch vertauschen kann. Oder ist es so, dass man den Satz von Fubini IMMER anwenden kann, wenn man den Transformationssatz angewendet hat? Und dann noch eine Frage: Warum macht man sich eigentlich die Mühe die Koordinaten zu transformieren z.b. in Kugelkoordinaten, damit rechnet man dann doch viel aufwendiger - oder nicht? Meine Ideen: ...
26.03.2011, 18:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Transformationssatz und Fubini sind zwei verschiedene Paar Stiefel. Das eine bedingt nicht das andere. Wenn die Voraussetzungen für den jeweiligen Satz gegeben sind, kann man ihn auch anwenden, unabhängig vom andern. Mit dem Transformationssatz bringt man nur ein Integral von der einen Gestalt auf eine andere mit demselben Integralwert. Prinzipiell kann man den Transformationssatz immer anwenden. Das ist genau wie bei der eindimensionalen Substitutionsregel. Nur ist es natürlich dabei das Ziel, das Integral zu "vereinfachen", also einer rechnerischen Lösung zugänglich zu machen. Beispiel: Wir substituieren $\begin{eqnarray} x = \ln t \end{eqnarray}$ im folgenden Integral: $\begin{eqnarray} \int_0^1 x^2~\dd x = \int_1^{\operatorname{e}} \frac{\left( \ln t \right)^2}{t}~\dd t \end{eqnarray}$ Das ist zunächst eine richtige Umformung. Beide Integrale haben denselben Wert. Nur ist das zweite Integral jetzt "schwerer" zu berechnen als das erste. Richtig bleibt die Umformung trotzdem.
26.03.2011, 22:24	BanachraumK_5	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich will dir mal genau aufzeigen in welchem Zusammenhang Fubini und Transformationssatz stehen. Beachte beide Sätze sind unabhängig können jedoch in Kombination benutzt werden. (Wenn jeweils die Vorraussetzungen der beiden Sätze erfüllt sind) Transformationssatz: Seien U und V offene Teilmengen des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n, \end{eqnarray}$ und sei $\begin{eqnarray} \phi:U \rightarrow V \end{eqnarray}$ ein Diffeomorphismus. Dann ist eine Funktion f auf V genau dann über V integrabel, wenn $\begin{eqnarray} (f \circ \phi) \vert \det \phi' \vert \end{eqnarray}$ über U integrabel ist. D.h. man kann in beide Richtungen arbeiten und es genügt die integierbarkeit einer der angegeben Funktionen/Terme zu zeigen womit dann der andere Term auch integrabel ist! Nun zu Fubini: Transformierst du mit obigen Satz deine Funktion, dann kannst du dieses Integral, dann ggf. über die Iterierten ausrechnen insofern du weiß das einer der beiden Seiten integrabel ist. Ferner kannst du den Satz von Fubin auch per Widerspruch anwenden, wenn ein Integral nicht existiert, denn wenn eine Integral bezüglich des Produktmaßes existiere, dann müßten gem. dem Satz von Fubini auch ihre iterierten existieren, zeigst du nun, dass dieses nicht der Fall ist; So kann die Funktion auch nicht bzgl. des Produktmaßes integrabel sein! Beachte den Unterschied zu Tonelli, der dir lediglich eine hinreichende Bedingung gibt, denn er sagt wiederum wenn eines der iterierten Integrale existiert, dann ist die Funktion auch über das Produktmaß integrabel. Schreib dir das mal sauber auf und mach dir das klar, dass sind nämlich mitunter die wichtigsten Sätze der Integrationstheorie. Weitere Methoden um die Integrierbarkeit zu zeigen sind Beppo-Levi, Lebesgue, und Fatous Lemma.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »