lineare Funktionen Beweis

26.03.2011, 19:24

Matheverzweifel

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lineare Funktionen Beweis

Meine Frage:
Hallo,
Ich hätte da eine Frage zu einer Aufgabe unser Lehrer hat uns die gleichung so hingeknallt und ich bin etwas ratlos kann mir wer helfen das ist die Aufgabe:
Beweise folgende Assagen für linearen Funktionen und fertige eine Skizze an.
a)f(x+?x)-f(x)=k*?x
b) die Umkehrfungtion von f(x)=Kx + d ise ebenfalls eine lineare Funktion und besitzt die Steigung K*= (1/k)

Meine Ideen:
?-grichischer Buchstabe (Delta)
K-Steigund
D-höhe f(x) achse das wars aber auch schon mit meinem Wissen *Help* pls.
DAS ? sollte ein Delta darstellen !!! aber es wird anscheinend vom Programm nicht erkannt !!!

26.03.2011, 19:52

system-agent

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Ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ kriegst du mit

code:
1:	[latex]\delta[/latex]

Nun wie sieht denn die Gleichung einer solchen Funktion aus? Es ist $\begin{eqnarray*} f(x)=kx+d \end{eqnarray*}$ . Nun berechne doch einfach mal
$\begin{eqnarray*} f(x+\delta x)-f(x) \end{eqnarray*}$ ,
das geht wunderbar durch einsetzen. Das erledigt schon die (a).

27.03.2011, 10:47

Matheverzweifel

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erstmal danke für den code Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber das mit Kx+d ist mir klar so schaut die Formel allgemein immer aus aber was mach ich jetzt mir dem ? Wie meinst du einsetzen ?

27.03.2011, 11:08

system-agent

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Für jede feste (!) Belegung von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ kriegst du eine lineare Funktion. Zb. $\begin{eqnarray*} k=2011 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d=-2 \end{eqnarray*}$ liefert die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=2011x-2 \end{eqnarray*}$ . Sprich da stehen diese beiden Buchstaben einfach als Platzhalter für feste Zahlen. Die "Laufvariable" der Funktion ist ja $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Nun bedeutet $\begin{eqnarray*} f(x+\delta x) \end{eqnarray*}$ dass du in der Gleichung für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ alle auftauchenden $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} x+\delta x \end{eqnarray*}$ ersetzen sollst. Das meine ich mit einsetzen.
Ganz genau wie wenn du zb. $\begin{eqnarray*} x=5 \end{eqnarray*}$ einsetzt, dann kriegst du
$\begin{eqnarray*} f(5)=k\cdot5+d \end{eqnarray*}$ .

27.03.2011, 11:20

Matheverzweifel

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das wäre dann f ( $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ x+ $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -f( $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ x)=k* $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ x ???
stimmt das jetzt so ???
smile

smile

27.03.2011, 11:51

system-agent

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Natürlich stimmt das, denn das steht ja schon in der Aufgabenstellung [mal von ein paar Delta's zuviel angesehen] Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Deine Aufgabe ist es einfach, das nochmals in Details nachzurechnen.
$\begin{eqnarray*} f(x+\delta x)-f(x)=....=....=k\cdot\delta x \end{eqnarray*}$ .

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27.03.2011, 11:57

Matheverzweifel

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heißt das ich mus am ende auf K * $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ x kommen ?

27.03.2011, 12:10

system-agent

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Ja.

27.03.2011, 12:18

Matheverzweifel

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smile

danke dir mal aber irgendwie hat das bei mir nicht so gefunkt wie es sollte bin auf was falsches gekommen

27.03.2011, 12:21

Matheverzweifel

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oder stimmt das, dass ich einfach sag, durch f und dann mal K stimmt das dann ???
kann mir das nicht vorstellen.

27.03.2011, 12:23

system-agent

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Setze doch einfach mal ein was da steht. Was kriegst du wenn du $\begin{eqnarray*} f(x+\delta x) \end{eqnarray*}$ einmal ausschreibst? [also einsetzt?]
Das was du dann gekriegt hast, von dem ziehst du nun $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ab, also $\begin{eqnarray*} kx+d \end{eqnarray*}$ .

27.03.2011, 12:31

Matheverzweifel

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$\begin{eqnarray*} f(x+\delta x) \end{eqnarray*}$ - f(x)=k* $\begin{eqnarray*} /delta x[\latex] mit dem Multiplizieren ? [latex]f(x+\delta x) \end{eqnarray*}$

27.03.2011, 12:33

Matheverzweifel

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weißt du was danke dir Gott

Gott

unendlich für deine Hilfe aber anscheinend verstehe ich es einfach nicht traurig

traurig

danke

27.03.2011, 12:53

Matheverzweifel

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/

27.03.2011, 12:57

system-agent

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Mach doch einfach mal ganz genau das was ich dir gesagt habe unglücklich

unglücklich

.

Nochmals:
Du hast die Funktionsvorschrift $\begin{eqnarray*} f(x)=kx+d \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} k,d \end{eqnarray*}$ beides feste Zahlen sind, $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist die Laufvariable.

Wie würdest du nun den Funktionwert an der Stelle $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ ausrechnen? Du würdest einfach jedes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in der Funktionsvorschrift durch $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ ersetzen, also dann kriegst du $\begin{eqnarray*} f(5)=k\cdot 5+d \end{eqnarray*}$ .

So, und nun sollst du den Funktionswert an der Stelle $\begin{eqnarray*} x+\delta x \end{eqnarray*}$ ausrechnen. Wieder ersetzt du jedes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in der Funktionsvorschrift durch $\begin{eqnarray*} x+\delta x \end{eqnarray*}$ . Du kriegst dann also $\begin{eqnarray*} f(x+\delta x)=? \end{eqnarray*}$ .

Danach berechnest du:
$\begin{eqnarray*} f(x+\delta x)-f(x)=?-(kx+d)=?-kx-d=...=k\delta x \end{eqnarray*}$ .
Damit hast du alles bewiesen.

27.03.2011, 19:10

Matheverzweifel

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ok danke

Gott

Gott

Gott

Gott

Gott

Gott

Gott

Gott

Gott

27.03.2011, 19:50

system-agent

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Nun denn noch die (b).
Da ist die Aufgabenstellung allerdings schon falsch. Die Umkehrfunktion zu $\begin{eqnarray*} f(x)=kx+d \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{k}x-\frac{d}{k} \end{eqnarray*}$ .

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