Vektorprodukt, Skalarprodukt |
| 26.03.2011, 20:24 | strafedonkey | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Vektorprodukt, Skalarprodukt Mein Verständnis: - Ein gewöhnlicher Vektor ist eine information, die ich geografisch lösen kann,m also eine Verschiebung im Raum (Lageplan), eine Drift oder Geschwindigkeit (Geschwindigkeitsplan) oder ein Kräfteverhältnis (Parallelogramm der Kräfte). Diese Vektoren kann ich mit einem Skalar multiplziieren und erhalte somit ein Vektorprodukt. Ich kann nur die hälfte einer Kraft, einer Verschiebung oder einer Geschwindigkeit verwenden und somit den Vektor mit 0,5 multiplizieren. - Wenn ich Vektorgleichungen nicht mehr geografisch lösen kann, weil die beiden Vektoren unterschiedliche Größen darstellen, beispielsweise wenn ein Vektor eine Kraft darstellt, der andere eine Bewegung im Raum und somit die Hypotenuse die daraus entstehende Arbeit in Joule oder Newtonmeter angeben würde (und somit kein klares Größenverhältnis zwischen den beiden Katheten besteht), dann brauche ich ein Skalarprodukt. Hier kann ich c nicht durch Pythagoras und Co. berechnen, hier rechne ich also nicht mit der LÄNGE der Vektoren, sondern mit ihren BETRÄGEN. Die Lösjungsformel ist dann |v1| * |v2| * cosalpha. Ist der Winkel also 90 °, ist der cosinus 0 und daher die "Hypotenuse", also das Skalarprodukt, 0. Ist ja auch logisch, das kann ich mir noch vorstellen: WEnn ich eine Schubkarre mit einer Kraft im 90 ° Winkel zum Boden nach oben hebe, weil der Kraftvektor prallel zum Wegvektor steht, dann ergibt der Wegvektor einen Nullvektor, weil sich die Schubkarre keinen Zentimeter bewegen wird. Das kann man sich wirklich _realistisch_ vorstellen, da wird man wirklich noch nicht verrückt dabei. Nach dieser Regel würde ich auch kapieren, warum man durch einen VEktor nicht dividieren kann, z. B. eine Verschiebung von 2 m nach links durch eine Verschiebung von zwei 2 m nach rechts nicht wirklich sinn macht. Eine Division durch die Beträge dieser Vektoren allerdings schon. Jetzt vertickt mir aber das internet bzw. mein Buch (Telekolleg analytische geometrie) irgendeinen geometrischen Zusammenhang zwischen Vektorprodukt und Skalarprodukt, beispielsweise durch folgende Formel: |v| = Wurzel(v²) bzw. |v|² = v² Also der Betrag eines vektors soll gleich der wurzel seiner Länge zum Quadrat sein? Wie kann ich mir das denn vorstellen? Beispiel? Eine Schubkarre wird unter KRaftaufwand von sagen wir 25 N 120 m weit geschoben. Der Betrag des Wegvektors ist 120, daraus ergäbe sich wiederum also eine Vektorlänge von 120 gemäß der oberen Formel. selbiges beim Kraftvektor. Hieße das jetzt also, wenn ich diese beiden Vektorlängen nun in einem Maßstab in eine Zeichnung übertrage, kann ich das Skalarprodukt, also die Hypotenuse, zeichnerisch ermitteln? Ich habs ausprobiert: es geht nämlich nicht bzw. ich kriegs nicht hin. wie denn auch? Das geht doch allein rein vorstellerisch überhaupt nicht klar. Kann mir das mal bitte einer irgendwie verständlich rüberbringen? :\ |
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| 26.03.2011, 22:33 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Begriffe stimmen nicht. Was du "Vektorprodukt" nennst, heißt in Wirklichkeit "Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl (einem Skalar)" oder kurz "skalare Multiplikation". Das Vektorprodukt ist etwas ganz anderes. Wahrscheinlich kennst du das (noch) nicht. Du versuchst, die Begriffe der Vektorrechnung physikalisch zu verstehen, und sie existieren erst dann für dich, wenn du sie physikalisch verstanden hast. Ich als Mathematiker sehe das gerade umgekehrt. Für mich sind das Begriffe der Mathematik, die mit Physik zunächst gar nichts zu tun haben. Für mich haben diese Begriffe eine abstrakte Bedeutung, für die es eine schöne geometrische Interpretation gibt. Und das war es auch schon. Und jetzt kommt die Physik und verwendet die Vektoren, um dies oder jenes damit zu beschreiben. Oder es kommt die Volkswirtschaftslehre, um Vektoren für dies oder jenes zu verwenden. Oder andere Wissenschaften. Offenbar kennst du das Skalarprodukt zweier Vektoren in der Fassung wo der von den Vektoren eingeschlossene Winkel ist. Du definierst also nicht den Betrag eines Vektors mit Hilfe des Skalarproduktes, wie es in der Mathematik die Regel ist, sondern das Skalarprodukt mit Hilfe der Beträge der Vektoren und ihrem Winkel. Du legst dabei eine naive Vorstellung zugrunde, was der Betrag eines Vektors ist. Einverstanden. Jetzt kann dir doch niemand verbieten, in der obigen Formel für speziell zu nehmen. Du hast dann auf der linken Seite das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selber, wofür sich wie sonst bei Zahlen die Hochzahl als Abkürzung anbietet. Der Winkel zwischen den beiden gleichen Vektoren ist also , womit ist. Und was steht nun da? Das ist eine logische Konsequenz aus der Definition. Wo ist das Problem? |
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| 27.03.2011, 11:37 | strafedonkey | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
darum gehts mir ja in erster Linie nicht, damit hättest du mir gegenüber diese Theorie ja nun mathematisch bewiesen bzw. hergeleitet. Mir können Leute / Bücher dieses mathematische Gesetzt herleiten wie sie wollen, mein Problem ist: ich checks nich. Lass mich das kurz erläutern: - Ich denke richtig effektiv mit etwas rechnen kann man erst dann, wenn man es "kapiert" hat. Worum es mir jetzt geht: WEnn ich zwei nicht miteinander vergleichbare Größen habe (wie z. B. Kraft und Weg) -> wie setze ich diese beiden größen in einen grafischen (geometrischen) Vektor um? Wenn ich in der ersten Klasse eine Textaufgabe stelle: Ina nimmt zwei Äpfel, die 1 kg schwer sind. DAnach nimmt sie zwei Birnen, die wiederum 1 kg schwer sind. Wie schwer ist ihre Einkaufstüte? Dann kann den "Vektor" so zeichnen nach meinem Verständnis: Wenn der MAßstab 1 cm = 1 kg ist, dann kann ich für jede Birne im Birnenvektor einen Zentimeter zeichnen. SElbiges für jeden Apfel. Die Hypotenuse, also die Summe des Vektors, errechnet sich dann durch den Pythagoras. Ich vergleiche eine EINHEITLICHE Größe (die Masse) -> wie bei einem Lageplan, bei einem GEschwindigkeitsplan und einem Parallelogramm der Kräfte. Aber was, wenn ich jetzt zwei verschiedene Größen habe? Wenn ich jetzt eine Schubkarre mit 20 N für 120 m ziehe und somit die ARbeit ermittle, wie lang zeichne ich dann den Kraftvektor und wie lang den Wegevektor? Wenn mir mein Buch erzählt, dass ich das Skalarprodukt, also die "Vektorsumme", die Hypotenuse, wie auch immer man es korrekt nennt, geometrisch ermitteln kann, dann frage ich mich: 1. wie ich das zeichnen soll und 2. wie das möglich ist? Ich habe ja keine einheitlichen Größen, ich kann doch nicht sagen (leicht vereinfacht): der MAßstab ist 1 cm = 20 N ODER 1 m und dann den Kraftvektor 20 cm und den Wegevektor 120 cm zeichnen Ich vergleiche hier nicht mehr einheitliche Größen, also das GEwicht, sondern ich vergleiche Äpfel mit Birnen. |
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| 27.03.2011, 12:35 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das Skalarprodukt ist ja gar kein Vektor, sondern ein Skalar. Deswegen heißt es nämlich so. Aber vielleicht können dir andere Leute, die mehr von Physik verstehen als ich, bei den Einheitenproblemen besser helfen. |
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| 27.03.2011, 14:47 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das erzählt dir ja auch kein Buch. Du glaubst das nur, weil du unterschiedliche Begriffe wild vermengst mit dem Argument, ist doch egal, wie man das nennt. Das ist aber nicht egal! Du kannst natürlich für dich persönlich gern ein Fahrad Auto nennen und einen Hund Katze. Dann darfst du dich aber nicht wundern, wenn du bald nicht mehr verstehst, was andere dir sagen oder was in der Zeitung steht. Man kann Vektoren addieren. Das Ergebnis ist dann eine Summe, gern auch Vektorsumme. Es handelt sich dann aber nicht um ein Produkt, insbesondere nicht um das Skalarprodukt. Also halte diese Dinge in deinem Kopf und sprachlich auseinander. Wenn Vektoren eine physikalische Bedeutung haben, dann hat die Addtion nur dann eine physikalische Bedeutung, wenn die Vektoren die gleiche physikalische Dimension haben. Man kann Geschwindigkeiten vektoriell addieren, man kann Kräfte vektoriell addieren, man kann Richtungsvektoren vektoriell addieren usw. Man kann aber nicht Kraftvektoren und Richtungsvektoren addieren. Das Problem unterschiedlicher Maßstäbe taucht also bei der Addition von Vektoren überhaupt nicht auf. Wenn du aus einer Kraft und einem Weg die Arbeit berechnen sollst, so ist das keine Addition, sondern eine Multiplikation und zwar das Skalarprodukt (siehe Leopold). Das Skalarprodukt hat eine von den Faktoren unterschiedliche physikalische Dimension, die sich durch Multiplikation der Dimensionen der Faktoren ergibt. Die Arbeit hat die Dimension Kraft*Weg. Misst man die Kraft in Newton (N) und den Weg in Meter (m), dann ergibt sich die Arbeit in der Einheit Newtonmeter (Nm). 1 Newtonmeter wird auch 1 Joule (J) genannt. Das Skalarprodukt kann nicht geometrisch ermittelt werden, indem man die Vektoren geometrisch addiert!
Wenn du Kraftvektoren und Richtungsvektoren in ein Diagramm zeichnen willst, brauchst du zwei Maßstäbe, einen für die Kraft und einen für den Weg. Die kannst du im Prinzip willkürlich und unabhängig voneinander wählen. Jede Achse bekommt dann eine doppelte Beschriftung, eine z. B. in Newton und die andere z. B. in Meter. Du kannst die Skalen z. B. mit folgenden Maßstäben beschriften: 1 N entspricht 5 cm auf den Achsen, 1 m entspricht 2 cm auf den Achsen. Eine Skalierung in der Art 1 N entspricht 1 cm und 1 m entspricht 1 cm erleichtert zwar die Umrechnung, ist aber nicht unbedingt erforderlich. Die Nichtvergleichbarkeit der Maßstäbe spielt keine Rolle, weil du nie Kräfte und Wege addieren musst. Also musst du sie auch nie geometrisch addieren. Wenn du die Arbeit, also das Skalarprodukt, aus der Zeichnung bestimmen willst, geht das trotz der Nichtvergleichbarkeit der Maßstäbe. Dazu brauchst du nur die Länge (den Betrag) der beiden Vektoren und den Winkel zwischen ihnen (siehe Leopold). Du misst also den Kraftvektor in cm und rechnest das mit dem Maßstabsfaktor für Newton in Newton um. Ebenso misst du den Richtungsvektor in cm und rechnest das mit dem Maßstabsfaktor für Meter in Meter um. Den gemessenen Winkel brauchst du nicht umzurechnen. Wenn du die Maßstabsfaktoren änderst, bleibt der Winkel zwischen den Vektoren gleich. Es ändert sich nur ihre geometrische Länge. Aber das berücksichtigst du ja mit den Maßstabsfaktoren. |
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