Zwischenkörper Q(\sqrt[4]2)/Q

26.03.2011, 21:28

Cordovan

Zwischenkörper Q(\sqrt[4]2)/Q

Hallo zusammen!

Ich versuche mich im Moment an der Galoistheorie und versuche, den Hauptsatz zu verstehen.

Sagen wir mal, ich habe die Erweiterung $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt[4]2)/\mathbb Q \end{eqnarray*}$ und ich möchte die Zwischenkörper bestimmen. Wie gehe ich an so etwas heran? Ich muss doch dafür die Galoisgruppe bestimmen, da deren Untergruppen genau zu den Zwischenkörpern gehören.

Ich habe mir überlegt, dass der Grad der Erweiterung $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ sein sollte. Eine Basis wäre ja $\begin{eqnarray*} \{\sqrt[4]2,\sqrt2,i,1\} \end{eqnarray*}$ , oder?

Demnach hat die Galoisgruppe 4 Elemente und ist eine Untergruppe der $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ . Jetzt gibt es ja nur zwei Gruppen der Ordnung 4, eine zyklische und die Kleinsche Vierergruppe. Richtig?

Ich muss also herausfinden, ob es ein Element der Ordnung 4 in der Galoisgruppe gibt oder nicht. Richtig?

Wie kann ich das machen?

Cordovan

26.03.2011, 21:45

Merlinius

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Hey,

da ich gerade für meine Algebra Klausur lerne am Montag (u.a. Galoistheorie) und mich das Thema auch interessiert, klinke ich mich mal ein. Wobei ich für die Richtigkeit meiner Beiträge nichts garantieren kann. Vielleicht kann es ja noch jemand bestätigen, der wirklich Ahnung hat:

Also meiner Meinung nach ist Deine Körpererweiterung keine Galoiserweiterung, da sie nicht normal (edit: korrigiert) ist. Das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]2 \end{eqnarray*}$ enthält nicht-reelle Nullstellen, allerdings ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt[4]2) \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Der Grad der Körpererweiterung ist zwar 4, doch die von dir angegebene Menge ist keine Basis. Eine Q-Basis wäre etwa:

$\begin{eqnarray*} \{1, \sqrt[4]2, \sqrt 2, \sqrt 2 \cdot \sqrt[4]2\} \end{eqnarray*}$

Dass die Körpererweiterung nicht über die reellen Zahlen hinausgeht, sieht man daran, dass die reellen Zahlen einen Körper bilden, der bereits $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]2 \end{eqnarray*}$ enthält, und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt[4]2) \end{eqnarray*}$ definiert ist als kleinste Körpererweiterung von Q, die $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]2 \end{eqnarray*}$ enthält.

Daher kann man nicht von einer Galoisgruppe sprechen und den Hauptsatz der Galoistheorie für endliche Körpererweiterungen auch nicht anwenden.

26.03.2011, 22:27

Cordovan

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Zitat:

Also meiner Meinung nach ist Deine Körpererweiterung keine Galoiserweiterung, da sie nicht separabel ist.

Wieso das? Ein Polynom ist doch separabel, wenn es nur einfache Nullstellen hat. Wie ist denn das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]2 \end{eqnarray*}$ ?

Cordovan

26.03.2011, 22:40

Merlinius

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Ups, ich meine normal. Die Körpererweiterung ist nicht normal.

26.03.2011, 22:42

Manus

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Die Körpererweiterung ist offensichtlich separabel, da wir uns in Charakteristik 0 befinden. Trotz allem handelt es sich nicht um eine Galoiserweiterung, wobei es eben an der Normalität scheitert.

Das Minimalpolynom ist $\begin{eqnarray*} x^4-2 \end{eqnarray*}$ und dieses hat auch nicht-reelle Nullstellen, welche in deinem Körper offensichtlich nicht enthalten sind.

Edit: Sorry Merlinius, das hat sich überschnitten.

26.03.2011, 22:46

Cordovan

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Alles klar, also handelt es sich um keine Galoiserweiterung (da nicht normal). Der Hauptsatz ist also einfach nur nicht anwendbar.

Danke!

Cordovan

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