Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion

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Bienchen11 Auf diesen Beitrag antworten »
Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
Hallo,
ich habe hier eine Matheaufgabe, die mir ziemliche Probleme bereitet.Ich hoffe, jemand von euch kann mir weiterhelfen.

Aufgabe:
Die Abbildung zeigt den Graphen Gf einer in R definierten, stetigen Funktion f. Gf ist punktsymmetrisch zum einzigen Schnittpunkt S(1/0) mit der x-Achse. Die Extrempunkte von Gf sind (0/-2) und (2/2).
Die Funktion

F: x |--> f(t) dt ( in den Grenzen -2 und x )

mit x Element R ist eine Integralfunktion von f.

a) Geben Sie Monotonie- und Krümmungsverhalten des Graphen von F an.
b) Begründen Sie, dass F genau zwei Nullstellen hat, und geben Sie diese an.
c) Begründen Sie, dass für h>0 gilt: F(1-h)=F(1+h)
Welche Bedeutung hat diese Beziehung für den Graphen der Integralfunktion F?
________________________________________________________________________
Meine Lösungsansätze:
Man muss für die Aufgaben erst einmal die Funktion f(x) aufstellen um daraus eine Integralfunktion zu bilden. Jedoch ist gearde das mein Problem. Wie kann ich diese aufstellen? Ich habe es bereits mit f(x)= ax³+bx+c probiert, da die Funktion punktsymmetrisch ist und dadurch die Glieder mit den geraden Exponenten wegfallen. Aber da kam dann eine Geradengleichung heraus und das stimmt garantiert nicht.
Und wie gehts dann weiter?

Ich hoffe, dass irgendjemand von euch mit dieser Aufgabe klarkommt. Vielen Dank schonmal im vorraus! smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
Willkommen

f ist keine (reine) Polynomfunktion. Der Ausschnitt deutet an, dass sie sich an die x-Achse anschmiegen wird. Stellen wir einfach mal ein paar Überlegungen an.

Unter Integral können wir uns ja einen gerichteten Flächeninhalt vorstellen. Wenn du dir einer Skiee macht, dann zeichne doch mal bei x=-2 eine parallele zur y-Achse. Dort wollen wir beginnen. Schraffiere die Fläche zwischen x-Achse und dem Graphen bis x=1. Diese Fläche ist negativ.

Soweit klar? Wenn ja, wie weit müßten wir denn nun weiter nach rechts gehen, um so viel positive Fläche zu bekommen, dass wir wieder auf "0" stehen [Bedenke die Punktsymmetrie!]
 
 
Bienchen11 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
Die schraffierte Fläche ist also die Fläche von -2 bis 1?

Um die Aufgabe zu lösen fehlt mir doch die Funktion f... Kann ich die irgendwie berechnen?
Bienchen11 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
Ich müsste zwei Einheiten nach rechts gehen und dann hat das Integral die Grenzen 0 bis 3.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
Wir haben von f nur das Bild und die Infos. Störe dich nicht daran.

Das erste Integral ging von -2 bis +1. Wie viel sind wir also nach rechts gegangen?

Das zweite Integral beginnt bei +1 und muss daher bis wo gehen?
Bienchen11 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
Das zweite Integral geht bis x=4
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
Genau. Nun kennst du doch schon 2 Nullstellen der Integralfunktion F. Welche sind das noch mal?

Der Graph von f verläuft nun immer oberhalb der x-Achse. Kann es noch eine dritte Nullstelle von F geben?
Bienchen11 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
Die Nullstellen von F müssten dann x= -2 und x=4 sein

Nein, es dürfte dann keine dritte Nullstelle geben, da F nur gegen 0 strebt aber die x-Achse nicht noch einmal schneidet, oder?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
So sieht es aus. (b) haben wir also schon erledigt.

Zitat:
a) Geben Sie Monotonie- und Krümmungsverhalten des Graphen von F an.


Was ist denn die Ableitung von F? Hast du eine Idee, wie die aussieht?
Bienchen11 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
Da hab ich ehrlich gesagt keine Ahnung. Ich hätte die Nullstellen genommen und versucht eine Gleichung aufzustellen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
Zitat:
Was ist denn die Ableitung von F? Hast du eine Idee, wie die aussieht?


Das ist die entscheidende Frage. Ich weiß sogar, wo ein Bild zu finden ist ... Und du weißt das eigentlich auch Augenzwinkern
Bienchen11 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
Ich habe von F die zwei Nullstellen...aber sieht eine Stammfunktion der Funktion f ähnlich?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
Nein. Was ist denn eine Stammfunktion S von f per Definition? Und was haben F und S gemeinsam? Damit ist f die ________ von F.
Bienchen11 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
Achso... die Ableitung von der Stammfunktion F ist die Funktion f
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
Bitte nenne F die Integralfunktion, nicht Stammfunktion. Aber ja, f ist die Ableitung von F.

Was bedeutet es, wenn die Ableitung f eine (einfache) Nullstelle hat für die Funktion F?
Bienchen11 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
dann ist die stelle wo die Nullstelle von f ist ein Extrempunkt von F!?
Bienchen11 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
und gilt dann auch F''(x)=f'(x)?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
ja.
Bienchen11 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
Und wie gehts dann weiter?
Bienchen11 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
Ich komme mit der Aufgabe nicht zurecht...
kannst du mir nicht schreiben, wie das genau funktioniert?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
Nein, denn wir rechnen hier keine Aufgaben vor.- Boardprinzip VORHER lesen.

Zitat:
a) Geben Sie Monotonie- und Krümmungsverhalten des Graphen von F an.


Wann steigt eine Funktion, wann fällt sie? Wie kann man das aus der Ableitugn ablesen?

Wie kann man eine Funktion zumindest graphisch ableiten? Das sollst du mit f machen, um Aussagen über F'' zu bekommen.
Bienchen11 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
ja so meinte ich es doch auch.
Bienchen11 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
Ich muss ehrlich sagen, dass ich das mit den NUllstellen verstanden habe, aber graphische ABleitungen hab ich noch nie im Unterricht behandelt....

egal. eine Funktion fällt, wenn ihre y-werte kleiner werden und steigt wenn die y-werte größer werden. woran erkennt man oder wie geht man voran, wenn man eine funktion graphisch ableiten will?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
Steigt oder fällt eine Funktion in einem Punkt, wenn die Ableitung dort negativ ist?
Bienchen11 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
sie müsste fallen....
aber von welcher Ableitung gehen wir aus?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
Das war eine generelle Frage. Ja fällt.

http://matthias-mergner.de/index.php?page=11d

Geh mal da hin , und übe das. Dann können wir hier weiter machen.

Wenn f also negativ ist, dann ..... F, da f die Ableitung von F ist.
Bienchen11 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
die Ableitung von dieser Funktion müsste eine Parabel sein, die nach unten geöffnet ist... der Extrempunkt wäre also bei x=1
für die Monotonie würde dann gelten: x kleiner gleich 1 --> monoton steigend
x größer gleich 1 --> monoton fallend
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
Keine Parabel. Lass uns doch erst mal F bestimmen.

Nimm ein Blatt Papier und zeichen f in die Mitte. Darüber und darunter machst du nochmal ein Koordinatensystem. Durch die Nullstellen von f zeichnest du parallel zu y-Achse Linien, die wir auch in den anderen 2 Kooordinatensystemen sehen..

Klar? Wenn fertig, geht es weiter.
Bienchen11 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
ok, wie gehts weiter?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
So, wir hatten doch schon die Nullstellen von F ermittelt. Einzeichnen.
Bienchen11 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
f hat eine Nullstelle und F hat zwei, oder?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
Zitat:
b) Begründen Sie, dass F genau zwei Nullstellen hat, und geben Sie diese an.


hatten wir doch schon erledigt.
Bienchen11 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
ja, aber die nullstelle von f ist dann x=1
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
Ich habe nicht nach f, sondern nach F gefragt. unglücklich
Bienchen11 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
Zitat:
Original von tigerbine
Durch die Nullstellen von f zeichnest du parallel zu y-Achse Linien.


also hab ich jetzt drei koordinatensysteme mit parallelen zu y- achse bei x=-2, x=1, x=4
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
So, und in das oberste wollen wir F skizzieren. Wir starten in (-2|0). Fällt oder steigt F dann? Wo wechselt es?
Bienchen11 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
von x=-2 bis x=1 fällt die funktion und hat dort einen extrempunkt, wo sie wieder beginnt zu steigen
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
Richtig. Nun brauchen wir nur noch die Wendepunkte.

Wo hat denn F'=f Extremstellen? Dort muss ja gelten f'=0, also F''=0? Was kann das mit den Wendestellen von F zu tun haben?
Bienchen11 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
f hat extrempunkt bei x=0 und x= 2... da gilt: f '=F '' müseen die extremmstellen von f die wendestellen von F sein

aber wie muss ich das jetzt einzeichnen bzw. mir vorstellen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie, Nullstellen, Integralfunktion
Naja, bei den Extremstllen von f wieder so Parallele Linien. Dann kannst du nun den Verlauf von F stricheln. Dabei geht es nicht um das exakte treffen des Graphen von F, sondern darum, die Charakteristik wiederzugeben.

Das haben wir doch nun getan.

Wenn die Ableitung Punktsymmetrisch ist, dann ist die Funktion ..... symmetrisch.
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