Kurzreferat zum Thema Geraden und Ebenen

Neue Frage »

punktkomma Auf diesen Beitrag antworten »
Kurzreferat zum Thema Geraden und Ebenen
Willkommen
Mein Lehrer hat mir letztens im Vorbeigehen einfach nen Blatt in die Hand gedrückt und gesagt, ich solle zu einer Aufgabe in der nächsten Stunde ne Erläuterung machen.

Hab aber leider wenig Peilung in Mathe und wollte daher um eure Hilfe bitten.

http://img353.imageshack.us/img353/9036/seegerlg7.jpg

Habt ihr ne Ahnung wie ich das Lösen kann?
Ich schreib ausgerechnet jetzt auch noch zwei LK-Klausuren und hab deshalb wenig Zeit, mich auch noch mit diesem "Quatsch" zu beschäftigen.
(könnt meinen Mathelehrer auf den Mond schießen Augenzwinkern )

Danke im Voraus
punktkomma Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurzreferat zum Thema Geraden und Ebenen
Sorry, die gegebenen Punkte kann man wohl schelcht erkennen.
Deswegen hier nochmal die Ebenengleichung und die gegebenen Punkte:

E: -2x1 + x2 + 2x3=3 (die Zahl hinter dem x ist jeweils nur eine Indexzahl, also x1 x2 x3)

gegebene Punkte A(3|3|3), B (6|3|6), C (5|-1|7), D(2|-1|4)

Es handelt sich um ein karthesisches (ka was das is) Koordinatensystem
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Was hast du denn für Ansätze? Wie würdest du die Gerade AE aufstellen? Was haben die Geraden AE, DH, CG und BF gemeinsam?

EDIT
In einem karthesischen Koordinatensystem stehen alle Achsen senkrecht aufeinander. Alle(?) in der Schule verwendeten Koordinatensysteme sind karthesisch. Lass dich also durch den Begriff nicht verwirren.
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
"karthesich" bedeutet, dass die Koordinatenachsen senkrecht aufeinander stehen.
Hattet ihr schon Vektorrechnung ?
Wie ist denn deine Idee bzw. wie würdest du vorgehen?

Edit:Mist zu langsam...Augenzwinkern
punktkomma Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben schon Vektorrechnung und haben geraden immer so aufgestellt, dass wir nen Stützvektor und nen Richtungsvektor hatten.

Aber da ich den Punkt E nicht habe, kann ich ja irgendwie auch keine lösbare Gleichung aufstellen bzw. das würde dann so aussehen:

Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Was für eine Eigenschaft hat denn der Vektor ? Ist ganz deutlich in der Skizze zu sehen...

(Hey, wie macht ihr die langen Pfeile?)

Edit: Korrigiert! Selbstverständlich meinte ich AE. Danke.
 
 
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Der Richtungsvektor der Geraden muss senkrecht zur Ebene E sein. Welche Eigenschaft hat denn der Normalenvektor einer Ebene? Wie kommt man auf den?

*lol* diesmal warst du schneller Augenzwinkern

EDIT
@Schmonk
Meinst du wirklich den Vektor AB? Ich vermute, du meinst AE.
punktkomma Auf diesen Beitrag antworten »

Er ist orthogonal zum Vektor AB und der Ebene E oder?
Kann das sein?
Und was ist ein Normalenvektor? die bzeichnung hatten wir in meinem Kurs noch nicht Augenzwinkern
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Schade, dass ihr den Begriff Normalenvektor noch nicht kennt. Der Normalenvektor ist senkrecht zur Ebene E und ist aus der oben gegebenen Ebenengleichung ablesbar. Für die Ebene ist der Vektor ein Normalenvektor.

In deinem Fall brauchst du zwei Richtungsvektoren der Ebene E und musst dir damit einen Vektor senkrecht zur Ebene E berechnen.

Hast du eine Idee, wie das gehen könnte? Tipp: "Das Skalarprodukt zweier senkrechter Vektoren ist null".
punktkomma Auf diesen Beitrag antworten »

Werd mich dazu morgen nochmal äußern. Bin im Moment echt unter Zeitdruck. Schreib morgen ne LK-Klausur (muss dafür jetzt noch lernen) und muss bis Dienstag das Mathematikzeug hier fertig haben und erklären können. Mittwoch dann die nächste LK-Klausur.

Hoffe ihr seid morgen auch wieder da.

Danke für die bisherige Hilfe
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn das eine Art Referat werden soll, dann sollst das sicherlich auf den Begriff des Normalenvektors bzw. des Normaleneinheitsvektors hinauslaufen.
Ein Normalenvektor ist nichts anderes als ein Vektor, der Senkrecht auf einer Ebene steht.
Ein Normaleneinheitsvektor ist ein Normalenvektor mit Betrag=1.

Hast du jetzt eine grobe Idee, wie du deine Aufgabe lösen könntest?
punktkomma Auf diesen Beitrag antworten »

So da bin ich wieder also würde das für den Vektor AB heißen

und für den anliegenden Verktor

Und jetzt muss ich irgendwie abc rausfinden. Ich hätte dann jetzt ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen.

I 3a+3c = 0

II -a - 4b +c = 0

Aber wie kann ich jetzt die anderen Variablen rausfinden?
b scheint zumindest schonmal 0 zu sein.
punktkomma Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir hier keiner mehr weiterhelfen? traurig
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von punktkomma
Und jetzt muss ich irgendwie abc rausfinden. Ich hätte dann jetzt ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen.

I 3a+3c = 0

II -a - 4b +c = 0

Aber wie kann ich jetzt die anderen Variablen rausfinden?
b scheint zumindest schonmal 0 zu sein.


Nicht weinen!

Wie kommst du auf den Gedanken, dass b=0 ist?
Wenn du 3 Variablen, aber nur zwei Gleichungen hast, musst du eine Variable als Parameter setzen, denn du kannst das nicht eindeutig lösen. Ich würde im obigen Fall einfach b als Parameter mitschleppen.
punktkomma Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab das jetzt so gemacht:

gleichung I 3a + 3c =0 |:3

dann hatte ich I a + c= 0
also c=-a

dann II -a - 4b + c = 0 |+I

ist dann -4b + 2c = 0
also c= 2b

hab mir für c ne Zahl ausgesucht, und zwar die 1 (weiß auch nicht, habs einfach gemacht, weil ich irgendwann schonmal gehört hatte, dass man sich irgendwie ne Zahl aussuchen kann, müsste ich noch irgendwie begründen können, hat da jemand was parat?)

hätte dann daraus den normalenvektor

daraus hab ich dann den betrag gebildet, damit der Vektor dann auch die richtige Länge hat
was zum glück auch sofort geklappt hat. Also hab ich doch den richtigen Vektor, oder?

Den hab ich dann auf den Stützvektor bzw. aufgerechnet und konnte so E und H bestimmen

Zur Bestimmung von G und F hab ich , da für die anderen Punkte der Betrag 4,5 sein muss, also 3x1,5 =4,5
und das ergebnis wiederum auf und draufgerachnet

Schließlich hab ich die Punkte E (2|3,5|4), F (9|4,5|21), G (8|0,5|22), H(1|0,5|5) raus.

Es gibt bestimmt noch einen einfacheren Weg, aber ich glaube so könnte es richtig sein.
punktkomma Auf diesen Beitrag antworten »

Korrektur der Werte:

E (2|3,5|4), F (3|4,5|9), G (2|0,5|10), H(1|-0,5|5)
Schmonk (nicht eingeloggt) Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab's jetzt nicht nachgerechnet, aber deine Überlegungen stimmen alle.

Dass du c beliebig wählen kannst, liegt daran, dass es eben ein Parameter ist, dein allgemeiner Normalenvektor lautet:



D.h. c bestimmt lediglich die Länge des Vektors, ändert aber nichts mehr an der Ausrichtung und gerade darauf kam es ja an.

Persönlich hätte ich erst mal den Normalenvektor auf den Betrag eins gebracht und dann eben mit 1,5 bzw 4,5 multipliziert, aber das ist nur Formsache und nicht notwendig.

Ein kürzerer Weg wäre direkt mit der Ebenengleichung:

E: -2x1 + x2 + 2x3=3

Hieraus kann man direkt ablesen, dass ein Normalenvektor wie folgt lautet:


Das erhälst du, wenn du bei deiner Rechnung c=2 wählst.
Aber dieses "Ablesen" müsste man natürlich noch ausführlich begründen. Dazu gibt es hier bestimmt schon mehrere Threads.

Viel Glück für dein Kurzreferat.

Gruß und Gute Nacht
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von punktkomma
also würde das für den Vektor AB heißen

und für den anliegenden Verktor

Und jetzt muss ich irgendwie abc rausfinden.

Der schnellste Weg, zu zwei gegebenen Vektoren des einen senkrechten Vektor zu finden, ist immer noch das Kreuzprodukt. Im vorliegenden Fall also



Bis auf den Faktor (-12) entspricht das eurem Vektor oben. Wink
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Der schnellste Weg, zu zwei gegebenen Vektoren des einen senkrechten Vektor zu finden, ist immer noch das Kreuzprodukt.


Ja schon, nur nicht jeder hat das Kreuzprodukt schon in der Schule, ich habe das zB erst im Studium kennengelernt.
Bei mir stand das damals als "freiwillig" im Lehrplan...aber du hast natürlich recht.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »