Totales Differential einer Funktion die R2 auf R2 abbildet

27.03.2011, 12:22

ChrisF

Totales Differential einer Funktion die R2 auf R2 abbildet

Meine Frage:
Hallo!

Wie oben beschrieben weiß ich nicht, wie man das totale Differential einer Funktion, die R2 auf R2 abbildet, berechnet?

Bei einer Funktion, die R2 auf R abbildet, wäre das ja einfach die partielle Ableitung nach der einen Variable addiert mit der partiellen Ableitung nach der anderen Variable.

Bloß wie sieht das aus, wenn die Funktion R2 auf R2 abbildet?

z.B. f(x,y) = (2xy²+x , x²y²+22x)^t

Könnt Ihr mir bitte anhand meines Beispiels erklären, wie man das totale Differential berechnet?

Vielen Dank im Voraus!

Meine Ideen:
Ich könnte als Ansatz nur das totale Differential einer Funktion, die R2 auf R abbildet.

Wenn die Funktion also folgendermaßen aussieht: f(x,y)= 2xy²

Dann wäre das totale Differential: 2y²+4xy

Wie gesagt, für mein o.g. Problem habe ich leider keine Ansätze unglücklich

27.03.2011, 12:25

system-agent

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RE: Totales Differential einer Funktion die R2 auf R2 abbildet

Zitat:

Original von ChrisF
Bei einer Funktion, die R2 auf R abbildet, wäre das ja einfach die partielle Ableitung nach der einen Variable addiert mit der partiellen Ableitung nach der anderen Variable.

Quatsch. Das totale Differential ist in diesem Fall der Gradient und im allgemeinen Fall einfach die Jacobimatrix. Vielleicht hilft dir das weiter.

27.03.2011, 12:33

ChrisF

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RE: Totales Differential einer Funktion die R2 auf R2 abbildet
aber laut Wikipedia und meiner Matheübung wird das doch so berechnet oder nicht??

http://de.wikipedia.org/wiki/Totales_Dif...#Einfacher_Fall

PS: stimmt mein o.g. Ansatz für eine Funktion, die R2 auf R abbildet, nicht?

27.03.2011, 12:50

BanachraumK_5

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Hier hast du ein schönes anschauliches und vorgerechnetes Beispiel für das

totale Differential:

http://www.uni-magdeburg.de/exph/mathe_gl/differential.pdf

Einfach mal nachrechnen und dann kannst du es genauso machen wie in deiner Aufgabe.

Zitat:

Dann wäre das totale Differential: 2y²+4xy

Ist falsch! S.h. Beispiel

Edit:

Zitat:

f(x,y) = (2xy²+x , x²y²+22x)^t

Wofür das ^t stehen soll frage ich mich gerade aber schon?!

27.03.2011, 13:01

system-agent

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Dieses ^t bedeutet Transponieren und hat mit einer lausigen Buchhaltung zu tun. Schreibt man die Vektoren aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ als Spalte, dann ist die Matrix einer linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ [und zu der Sorte gehört auch das Differential, was in diesem Fall der Gradient ist] einfach eine 1x2-Matrix, also ein Ding das aussieht wie $\begin{eqnarray*} (?,??) \end{eqnarray*}$ .

27.03.2011, 13:01

ChrisF

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Zitat:

Edit:

Zitat:

f(x,y) = (2xy²+x , x²y²+22x)^t

Wofür das ^t stehen soll frage ich mich gerade aber schon?!

das ^t steht für einen transponierten spaltenvektor. den link schau ich mir gleich mal an

27.03.2011, 13:06

BanachraumK_5

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Zitat:

das ^t steht für einen transponierten spaltenvektor. den link schau ich mir gleich mal an

Ja mach das mal, danach ist es nicht mehr schwer das total Differential zu berechnen. Das ist eben so eine typische Physiker Notation, aber das dx wird ja eh gerne von den Physikern mißbraucht. ;-)

Zitat:

Schreibt man die Vektoren aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ als Spalte, dann ist die Matrix einer linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2\to\mathbb R \end{eqnarray*}$

Halt mal! Wir haben eine Abbildung R^2 ==> R^2 also ist das Differenzial ein Element aus dem Raum $\begin{eqnarray*} \mathcal L(R^2,R^2). \end{eqnarray*}$

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