Derivation

27.03.2011, 14:53

SonjaZ

Derivation

Hallo zusammen!

Frage: Was ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^{\frac{-1}{sin^2(||x||)}} \end{eqnarray*}$ ?

Danke und liebe Grüsse,
Sonja

27.03.2011, 15:08

system-agent

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Das ist ein Term und Terme kann man nicht ableiten.

Schreib erstmal ordentlich eine Funktion hin, vor allem von wo nach wo diese Funktion abbilden soll. Und ich denke dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein Vektor ist, also solltest du noch sagen ob du partielle Ableitungen willst oder die totale Ableitung.

27.03.2011, 15:12

SonjaZ

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Also, was ich haben müsste wäre schlussendlich den Gradienten auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f(x) = e^{\frac{-1}{sin^2(||x||)}} \end{eqnarray*}$ ...

27.03.2011, 15:18

BanachraumK_5

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Den wirst du auf R^n aber nicht bekommen, denn diese Funktion ist dort nicht differenzierbar.

27.03.2011, 15:25

SonjaZ

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...ist sie nirgends diff'bar?

Ich weiss, dass sie im Ursprung nicht diff'bar ist (wegen ||x||, Wurzelfunktion ist nur für x != 0 definiert), aber woher siehst / weisst du, dass sie "allgemein" nicht diff'bar ist?

27.03.2011, 15:33

BanachraumK_5

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Das Problem hier ist, dass die Norm nicht in Null differenzierbar ist, d.h. die Funktion ist auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n / \{ 0 \} \end{eqnarray*}$ Total-differenzierbar.

@System Agent: Sry das ich als so in deine Threads reinplatze!

Die Ableitung bzw. den Gradienten erhälst du mittels mehrmaliger Anwendung der Kettenregel.

27.03.2011, 15:41

system-agent

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Zitat:

Original von BanachraumK_5
@System Agent: Sry das ich als so in deine Threads reinplatze!

Kein Problem Augenzwinkern

27.03.2011, 15:53

SonjaZ

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Ich hab da sowas bekommen wie:

$\begin{eqnarray*} \frac{2 x_k cot(||x||) e^{-csc^2(||x||)} csc^2(||x||)}{||x||} \end{eqnarray*}$

Ist das möglich?

27.03.2011, 16:18

BanachraumK_5

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{2 x_k cot(||x||) e^{-csc^2(||x||)} csc^2(||x||)}{||x||} \end{eqnarray*}$

Soll dass da oben Cotangens sein ??

Kettenregel liefert:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = (-\exp(-sin^2(\Vert x \Vert))' = - (-sin^2(\Vert x \Vert))' \exp(-sin^2(\Vert x \Vert)) \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du nur noch die Ableitung von

$\begin{eqnarray*} g(x) = -sin^2(\Vert x \Vert) \end{eqnarray*}$

berechnen, dann hast du es!

27.03.2011, 16:40

SonjaZ

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Das wäre dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{-x_k \cdot sin(||x||)}{||x||} \end{eqnarray*}$

Aber Frage: Ist (-exp(-sin^2(||x||))) mit meinem f(x) äquivalent? :S

27.03.2011, 16:48

BanachraumK_5

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Zitat:

Das wäre dann: $\begin{eqnarray*} \frac{-x_k \cdot sin(||x||)}{||x||} \end{eqnarray*}$

Naja also Sinus zum Quadrat abgeleitet ist was anderes. Du warst zuvor schon auf dem richtigen Weg. Sinus^2 leitest du mit Produktregel ab und dann nur noch den inneren Term ableiten (euklidische Norm).

Es gilt doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^x} = e^{-x} \end{eqnarray*}$

27.03.2011, 17:37

SonjaZ

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Äh, was hab ich da abgeleitet?!
Also der -Sinus^2 "normal" abgeleitet, sprich ohne Norm, ist: -2sin(x)cos(x)

Das heisst für $\begin{eqnarray*} g(x) = -sin^2(\Vert x \Vert) \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} g'(x) = -2sin(||x||)cos(||x||) \cdot\frac{x_k}{||x||} \end{eqnarray*}$

oder?

Ahh..ja, natürlich! Hammer

27.03.2011, 18:22

BanachraumK_5

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Da fehlt glaube ich noch ne 2 wenn du die Norm ableitest.

2 x_k

27.03.2011, 19:54

SonjaZ

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Ahh, you're right.

Dankeschön!

Noch 'ne andere Frage:
Ist die Ableitung zu f(x) = ln(1+||x||^L) so korrekt:
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{L}{||x||^{1-L}+x_k} \end{eqnarray*}$ ?

27.03.2011, 21:21

SonjaZ

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PS: Zu deiner Anmerkung wegen der 2, also 2 x_k
..fällt die nicht durch Kürzen weg, weil es im Nenner auch noch ne 2 hätte?

27.03.2011, 21:26

BanachraumK_5

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Nein!

Es ist zunächst $\begin{eqnarray*} (\log(x))' = (1/x). \end{eqnarray*}$

Also folgt mit der Kettenregel (innere mal äußere Ableitung) die Kalkulation

$\begin{eqnarray*} (\log(1+\Vert x \Vert^L)'= (1+\Vert x \Vert^L)' \cdot \frac{1}{1+\Vert x \Vert^L}= .... \end{eqnarray*}$

Jetzt ist es an dir den ersten Term noch abzuleiten.

Tipp im Falle der euklidischen Norm hast du ((L/2)-1).

Edit ich habe auch nicht gesagt das irgenwas wegfällt nur wenn du

$\begin{eqnarray*} g(x) = \sqrt{x_1^2 + .... + x_n^2} \end{eqnarray*}$ partiell ableitest kommst du auf

$\begin{eqnarray*} \partial_i g(x) = \frac{2x_i}{\sqrt{x_1^2 + ... + x_n^2}} \end{eqnarray*}$ das meine ich.

27.03.2011, 22:06

SonjaZ

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Ah, danke. Ich hab im Nenner komischerweise noch eine 2 gehabt. Aber nun ist es klar.

Ist das folgende korrekt?
$\begin{eqnarray*} (1+||x||)^L)' = \frac{1}{2} L (2 x_k) (||x||)^{\frac{L}{2}-1} \end{eqnarray*}$
Du hast zwar geschrieben, dass ich auf ((L/2)-1) kommen müsste..aber wie? :S

27.03.2011, 23:04

SonjaZ

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Ich habe eine Korrektur zum obigen:
$\begin{eqnarray*} (1+\Vert x \Vert^L)' = L ( \frac{2x_k}{||x||} )^{L-1} \end{eqnarray*}$ , oder?

Und noch eine Schlussfrage: Ist $\begin{eqnarray*} cos( ||x|| )' \end{eqnarray*}$ im Ursprung wirklich differenzierbar?

28.03.2011, 11:23

BanachraumK_5

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Es ist

$\begin{eqnarray*} \partial_i (1+ \sqrt{x_1^2+...+x_n^2}^L) = \partial_i (1+ [x_1^2+...+x_n^2]^{\frac{L}{2}}) = \frac{2L}{2} [x_1^2+...+x_n^2]^{\frac{L}{2}-1}<br /> \\ =L[x_1^2+...+x_n^2]^{\frac{L-2}{2}} = L \Vert x \Vert^{L-2} \end{eqnarray*}$

Vorrausgesetzt ich habe mich nicht selbst verrechnet.

Zitat:

Und noch eine Schlussfrage: Ist $\begin{eqnarray*} cos( ||x|| )' \end{eqnarray*}$ im Ursprung wirklich differenzierbar?

Ich hatte dir bereits vorhin geschrieben, dass die Norm in 0 nicht differenzierbar ist. Jetzt schau dir mal bitte selbstständig an welche Vorraussetzungen du brauchst um die Kettenregel anzuwenden:
http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenregel

Und nochwas wie System Agent richtig geschrieben hat sind Schreibweise wie

Zitat:

(1+\Vert x \Vert^L)'

etwas problematisch; Richtig sollte man es als eine Fkt. ausdrücken; Zugegemenermaßen schreibe ich es aus Faulheit auch so, aber in der UNI solltest du auch auf den nötigen Formalismus achten!

28.03.2011, 12:11

BanachraumK_5

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Korrektur:

$\begin{eqnarray*} \partial_i (1+ \sqrt{x_1^2+...+x_n^2}^L) = \partial_i (1+ [x_1^2+...+x_n^2]^{\frac{L}{2}}) = \frac{4L \cdot x_i}{2} [x_1^2+...+x_n^2]^{\frac{L}{2}-1}<br /> \\ =2L x_i[x_1^2+...+x_n^2]^{\frac{L-2}{2}} = 2L x_i \Vert x \Vert^{L-2} \end{eqnarray*}$

28.03.2011, 12:16

SonjaZ

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Frage: Ist es korrekterweise nicht $\begin{eqnarray*} L ||x||^{L-2} x_i \end{eqnarray*}$ ?

Sorrzy, hab es gestern Abend eben nochmals durchgerechnet...

28.03.2011, 12:22

BanachraumK_5

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Ja du hast Recht. Freude